Verifique se as séries são convergentes ou divergentes através do Teste da Comparação no Limite.
sumn=1^infty raiz[3]n+33 n+1

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
sumn=1^inftyraiz[3]n+33,n+1
usando o Teste da Comparação no Limite, que diz: se an>0, bn>0 e
L=limntoinftyanbn
existe com 0<L<infty, então sum an e sum bn convergem ou divergem juntas. Vamos escolher uma série bn simples (uma p-série) para comparar.

Passo 2

Para n grande,
raiz[3]n+3sim n^1/3, 3n+1sim 3n,
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an=raiz[3]n+33n+1sim n^1/33n=13,n^-2/3
Fazemos então a escolha natural
bn = n^-2/3,
que é uma p-série com p=tfrac23. Como p<=1, sabemos que
sumn=1^infty bn
diverge.

Passo 3

Vamos calcular
L=limntoinftyanbn =limntoinfty(n+3)^1/33n+1n^-2/3 =limntoinfty(n+3)^1/3,n^2/33n+1
Agora note que
(n+3)^1/3=n^1/3l(1+tfrac3nr)^1/3,
então o numerador fica
n^1/3l(1+tfrac3nr)^1/3,n^2/3 = nl(1+tfrac3nr)^1/3,
e o denominador é 3n+1=n,(3+1/n). Assim
L =limntoinftyn,(1+3/n)^1/3n,(3+1/n) =limntoinfty(1+3/n)^1/33+1/n =13
Logo 0<L<infty.

Passo 4

Pelo Teste da Comparação no Limite, como sum bn diverge e 0<L<infty, segue que
sumn=1^infty an
também diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da comparação no limite.

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