A equação x^3-75 x+250=0 apresenta m como raiz dupla e -2 m como raiz simples. Qual é seu conjunto solução?

Passo 1

O enunciado diz que a equação x^3-75x+250=0 tem m como raiz dupla e -2m como raiz simples. O conteúdo aqui é usar as fórmulas de Viète (soma das raízes, soma dos produtos de duas em duas e produto das três) para encontrar m.

Passo 2

Pela soma das raízes de uma cúbica x^3+ax^2+bx+c=0 vale r1+r2+r3=-a. Aqui não há termo x^2, então a=0 e
m + m +(-2m)=0
que de fato é 0=0, ou seja, não dá informação extra.

Passo 3

Pela soma dos produtos de duas em duas vale r1r2+r1r3+r2r3=b. Aqui b=-75, então
mcdot m + mcdot(-2m) + mcdot(-2m) = -75
m^2 -2m^2 -2m^2 = -75
-3m^2 = -75
m^2 = 25
Logo m=pm5, mas ainda falta checar o produto.

Passo 4

Pelo produto das raízes vale r1r2r3=-c. Aqui c=250, então
mcdot mcdot(-2m) = -250
-2m^3=-250
m^3=125
Dessa equação só surge m=5 ( m=-5 não satisfaz o produto com sinal correto).

Passo 5

Substituindo, as raízes são m=5 com multiplicidade 2 e -2m=-10 com multiplicidade 1.

Resposta

As raízes são {5,5,-10}.

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