Em cada um dos Problemas de 5 a 12, encontre a solução geral da equaçâo diferencial dada. Nos Problemas 11 e 12, g é uma função contínua arbitrária.
y^prime prime-5 y+6 y=g(t)

Passo 1

O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y''-5y'+6y=g(t)
Onde g(t) é uma função contínua arbitrária. O conteúdo envolvido é: solução da equação homogênea associada e uso do método de variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

Começamos pela parte homogênea. Associe a equação característica
r^2-5r+6=0
Resolve-se fatorando
(r-2)(r-3)=0
Logo, as raízes são r=2 e r=3. Portanto a solução geral da homogênea é
yh(t)=C1e^2t+C2e^3t

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, tome as duas soluções fundamentais y_1=e^{2t} e y_2=e^{3t}. Calcule o Wronskiano:

Passo 4

Usando as fórmulas de variação de parâmetros, definimos
u1'=- racy2·g(t)W(t)=- race^3tg(t)e^5t=-e^-2tg(t),
u2'= racy1·g(t)W(t)= race^2tg(t)e^5t=e^-3tg(t)
Integramos para obter ν_1 e ν_2:

Passo 5

$$
u_1(t)=-\int^t e^{-2s}g(s),ds,
$$
$$
u_2(t)=
\int^t e^{-3s}g(s),ds.
$$

Passo 6

A solução particular fica
yp(t)= u1(t)e^2t+ u2(t)e^3t=-e^2tintegral^t e^-2sg(s),ds enquanto+e^3tintegral^t e^-3sg(s),ds

Passo 7

Assim, a solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:

Passo 8

y(t)=C1e^2t+C2e^3t-e^2tintegral^t e^-2sg(s),ds+e^3tintegral^t e^-3sg(s),ds

Resposta

y(t)=C1e^2t+C2e^3t-e^2tintegral^t e^-2sg(s),ds+e^3tintegral^t e^-3sg(s),ds

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