Em cada um dos Problemas de 5 a 12, encontre a solução geral da equaçâo diferencial dada. Nos Problemas 11 e 12, g é uma função contínua arbitrária.
Passo 1
O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
Onde g(t) é uma função contínua arbitrária. O conteúdo envolvido é: solução da equação homogênea associada e uso do método de variação de parâmetros para obter uma solução particular.
Passo 2
Começamos pela parte homogênea. Associe a equação característica
Resolve-se fatorando
Logo, as raízes são r=2 e r=3. Portanto a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para aplicar variação de parâmetros, tome as duas soluções fundamentais y_1=e^{2t} e y_2=e^{3t}. Calcule o Wronskiano:
Passo 4
Usando as fórmulas de variação de parâmetros, definimos
Integramos para obter ν_1 e ν_2:
Passo 5
$$
u_1(t)=-\int^t e^{-2s}g(s),ds,
$$
$$
u_2(t)=
\int^t e^{-3s}g(s),ds.
\int^t e^{-3s}g(s),ds.
$$
Passo 6
A solução particular fica
Passo 7
Assim, a solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular: