Encontre a solução de cada PVI:
cy^prime prime+9 y=36 y(0)=0, y^prime(0)=-2

Passo 1

Nesse exercício, temos um problema de valor inicial (PVI) para uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. A equação é y'' + 9y = 36 com as condições y(0)=0 e y'(0)=-2. Para resolver, vamos usar o método geral: solução da parte homogênea + solução particular, e depois ajustar as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada y'' + 9y = 0. A equação característica é
r^2 + 9 = 0
cuja solução é r = pm 3i. Logo, a parte homogênea é
yh(t) = C1 ,cos(3t) + C2 ,sin(3t)

Passo 3

Em seguida buscamos uma solução particular yp. Como o termo emitada é constante, tentamos yp = A. Substituindo em y'' + 9y = 36:
0 + 9A = 36 implies A = 4

Passo 4

Assim a solução geral da equação completa é
y(t) = C1 ,cos(3t) + C2 ,sin(3t) + 4

Passo 5

Agora calculamos a derivada para usar a condição sobre y':
y'(t) = -3C1 ,sin(3t) + 3C2 ,cos(3t)

Passo 6

Aplicando y(0)=0:
y(0) = C1 + 0 + 4 = 0 implies C1 = -4

Passo 7

Aplicando y'(0)=-2:
y'(0) = 0 + 3C2 = -2 implies C2 = -tfrac23

Resposta

y(t) = 4 - 4,cos(3t) - tfrac23,sin(3t)

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