Em cada um dos Problemas de 1 a 12 . encontre a soluçâo geral da equaçâo diferencial dada.
,
Passo 1
Estamos com a equação diferencial de 2ª ordem forçada
onde
Passo 2
Primeiro, resolvemos a parte homogênea associada. Escrevendo
a equação característica é
cuja solução é
. Então a solução homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados. Como o forçamento é
, assumimos o ansatz
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
$$u_{p}’’(t) = -C\omega^{2}\cos(\omega t) - D\omega^{2}\sin(\omega t).
Igualando coeficientes:
$$C(\omega_{0}^{2} - \omega^{2}) = 1, \quad D(\omega_{0}^{2} - \omega^{2}) = 0,
$$
o que dá e
.
o que dá
Passo 5
Somando a parte homogênea e a particular, chegamos à solução geral