Em cada um dos Problemas de 1 a 12 . encontre a soluçâo geral da equaçâo diferencial dada.
9 u^prime prime+omega0^2 u=cos omega t,
omega^2 neq omega0^2

Passo 1

Estamos com a equação diferencial de 2ª ordem forçada
u'' + omega0^2,u = cos(omega t),
onde omega^2 neq omega0^2. O conteúdo é equações diferenciais com coeficientes constantes e termo forçado; vamos precisar achar a solução homogênea e uma solução particular usando coeficientes indeterminados.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a parte homogênea associada. Escrevendo
u'' + omega0^2,u = 0,
a equação característica é
r^2 + omega0^2 = 0,
cuja solução é r = pm i,omega0. Então a solução homogênea é
uh(t) = Acos(omega0t) + Bsin(omega0t)

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados. Como o forçamento é cos(omega t), assumimos o ansatz
up(t) = Ccos(omega t) + Dsin(omega t)

Passo 4

Calculamos as derivadas de up:
up'(t) = -Comegasin(omega t) + Domegacos(omega t),
$$u_{p}’’(t) = -C\omega^{2}\cos(\omega t) - D\omega^{2}\sin(\omega t).
up''(t) = -Comega^2cos(omega t) - Domega^2sin(omega t) (-C\omega^{2} + C\omega_{0}^{2})\cos(\omega t) + (-D\omega^{2} + D\omega_{0}^{2})\sin(\omega t) = \cos(\omega t).$$
Igualando coeficientes:
$$C(\omega_{0}^{2} - \omega^{2}) = 1, \quad D(\omega_{0}^{2} - \omega^{2}) = 0,
$$
o que dá u'' + omega0^2u = cos(omega t) e (-Comega^2 + Comega0^2)cos(omega t) + (-Domega^2 + Domega0^2)sin(omega t) = cos(omega t).

Passo 5

Somando a parte homogênea e a particular, chegamos à solução geral

Resposta

u(t) = Acos(omega0t) + Bsin(omega0t) + 1omega0^2 - omega^2cos(omega t)

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