Utilizando as propriedades operatórias e as regras de derivação, calcule as derivadas das função abaixo:
f(x)=2-sin (x)2+cos (x)

Passo 1

Temos a função f(x)=2-sin(x)2+cos(x). O conteúdo aqui é derivação de quociente, e vamos precisar da regra do quociente e das derivadas de sin(x) e cos(x).

Passo 2

Definimos u(x)=2-sin(x) e v(x)=2+cos(x). Logo, usando as regras básicas, temos
u'(x)=-cos(x), v'(x)=-sin(x)

Passo 3

Aplicando a regra do quociente f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2, obtemos:
f'(x)=(-cos(x))(2+cos(x)) - (2-sin(x))(-sin(x))(2+cos(x))^2

Passo 4

Vamos expandir e simplificar o numerador:
  • Primeiro termo: -cos(x)cdot2 = -2cos(x) e -cos(x)cdotcos(x) = -cos^2(x).
  • Segundo termo: -(2-sin(x))(-sin(x)) = (2-sin(x))sin(x) = 2sin(x)-sin^2(x)
    Somando tudo:
num = -2cos(x) - cos^2(x) + 2sin(x) - sin^2(x)

Passo 5

Usando a identidade trigonométrica sin^2(x)+cos^2(x)=1, temos
-cos^2(x)-sin^2(x) = -1,
o que leva a
num = -2cos(x)+2sin(x)-1
Portanto a derivada final é:
f'(x)=2sin(x)-2cos(x)-1(2+cos(x))^2

Resposta

f'(x)=2sin(x)-2cos(x)-1(2+cos(x))^2

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