Em cada um dos Problemas de 1 a 12 . encontre a soluçâo geral da equaçâo diferencial dada.
(5) y^prime+9 y=r^2 e^x+6

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO linear de primeira ordem
5y' + 9y = r^2 e^x + 6
Conteúdo: equações lineares de 1ª ordem; usaremos o fator integrante para achar a solução geral.

Passo 2

Dividimos tudo por 5 para pôr na forma padrão y' + P(x)y = Q(x):
y' + 95y = r^2 e^x + 65
Onde P(x)=9/5 e Q(x)=(r^2 e^x +6)/5.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) definido por
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral 95dx = e^95x

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x) e reconhecemos o lado esquerdo como derivada do produto:
e^95xy' + 95e^95xy = l(e^95xyr)' = e^95xr^2 e^x +65

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^95xy = integral (r^25e^145x + 65e^95x)dx + C
= r^214e^145x + 23e^95x + C

Passo 6

Isolamos y dividindo por e^tfrac95x:
y = r^214e^145x - 95x + 23e^0 + Ce^-95x
e simplificamos os expoentes.

Passo 7

A expressão final fica:
y(x) = r^214e^x + 23 + Ce^-95x

Resposta

y(x) = \tfrac{r2}{14}ex + \tfrac{2}{3} + Ce^{-\tfrac{9}{5}x}

Exercícios relacionados