Em cada um dos Problemas de 1 a 12 . encontre a soluçâo geral da equaçâo diferencial dada.
1 y^prime prime-2 y^prime-3 y=3 e^2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes y’'−2y’−3y=3e^{2x}. O conteúdo envolvido é equações lineares de segunda ordem e vamos usar a equação característica para a parte homogênea e o método dos coeficientes a determinar para a parte não homogênea.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos y’'−2y’−3y=0. Montamos a equação característica associada r^2−2r−3=0 e resolvemos.
Resolvendo r^2−2r−3=0, temos
r^2 - 2r - 3 = (r - 3)(r + 1) = 0
Logo as raízes são r_1=3 e r_2=−1, e a solução geral da homogênea é
yh(x)=C1e^3x+C2e^-x

Passo 3

Para achar uma solução particular y_p, usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo do lado direito é 3e^{2x} e 2 não é raiz da característica, fazemos o palpite
yp(x)=Ae^2x

Passo 4

Derivando temos y_p’=2Ae^{2x} e y_p’’=4Ae^{2x}. Substituindo na equação original:
yp''-2yp'-3yp=(4A-2cdot2A-3A)e^2x=(-3A)e^2x
Isso deve ser igual a 3e^{2x}, ou seja -3A=3, de onde A=-1. Assim
yp(x)=-e^2x

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C1e^3x+C2e^-x-e^2x

Resposta

y(x)=C_1e{3x}+C_2e{-x}-e^{2x}

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