Em cada um dos Problemas de 1 a 12 . encontre a soluçâo geral da equaçâo diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes y’'−2y’−3y=3e^{2x}. O conteúdo envolvido é equações lineares de segunda ordem e vamos usar a equação característica para a parte homogênea e o método dos coeficientes a determinar para a parte não homogênea.
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos y’'−2y’−3y=0. Montamos a equação característica associada r^2−2r−3=0 e resolvemos.
Resolvendo r^2−2r−3=0, temos
Resolvendo r^2−2r−3=0, temos
Logo as raízes são r_1=3 e r_2=−1, e a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para achar uma solução particular y_p, usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo do lado direito é 3e^{2x} e 2 não é raiz da característica, fazemos o palpite
Passo 4
Derivando temos y_p’=2Ae^{2x} e y_p’’=4Ae^{2x}. Substituindo na equação original:
Isso deve ser igual a 3e^{2x}, ou seja -3A=3, de onde A=-1. Assim
Passo 5
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
Resposta
y(x)=C_1e{3x}+C_2e{-x}-e^{2x}