Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma.
Passo 1
Temos a série
. O conteúdo envolve séries numéricas: primeiro vamos testar convergência usando o teste da razão e depois, se ela convergir, achar a soma manipulando uma série geométrica conhecida.
Passo 2
Para aplicar o teste da razão de D’Alembert, definimos
. Calculamos
Fazendo
, o limite é
$$\nL = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2n} = \frac12 < 1.
$$
Passo 3
Como
, a série converge absolutamente.
Passo 4
Para encontrar a soma, usamos a série geométrica e suas derivações. Primeiro, lembramos que para
vale
$$\n\sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}.
$$
Passo 5
Agora basta escolher
. Substituindo:
Resposta
A série é convergente e sua soma é 2.