Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma.
sumn=1^infty n2^n

Passo 1

Temos a série sumn=1^infty n2^n. O conteúdo envolve séries numéricas: primeiro vamos testar convergência usando o teste da razão e depois, se ela convergir, achar a soma manipulando uma série geométrica conhecida.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão de D’Alembert, definimos an = n2^n. Calculamos
Fazendo n|an+1an| = n+12^n+1n2^n = n+12n , o limite é
$$\nL = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2n} = \frac12 < 1.
$$

Passo 3

Como L<1, a série converge absolutamente.

Passo 4

Para encontrar a soma, usamos a série geométrica e suas derivações. Primeiro, lembramos que para |x|<1 vale
$$\n\sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}.
nsumn=0^infty x^n = 11-x çã\n\sum_{n=1}^\infty n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}.
x\n\sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}.
$$

Passo 5

Agora basta escolher x=tfrac12. Substituindo:

Resposta

A série é convergente e sua soma é 2.

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