Em cada um dos Problemas de 1 a 12 . encontre a soluçâo geral da equaçâo diferencial dada.
6 y^prime prime+2 y^prime+y=2 e^-t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem não-homogênea 6. y'' + 2y' + y = 2e^-t. O conteúdo é EDO linear com coeficientes constantes e termo de força exponencial. Vamos precisar resolver a parte homogênea (equação característica) e depois encontrar uma solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea, colocamos y=e^rt e obtemos a equação característica:
r^2 + 2r + 1 = 0
Resolvendo, vemos que é um polinômio quadrado perfeito: (r+1)^2=0, logo a raiz é r=-1 de multiplicidade 2.

Passo 3

Quando a raiz -1 tem multiplicidade 2, a solução geral da homogênea é dada por:
yh(t) = (C1 + C2 t)e^-t

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular para o termo 2e^-t. Como e^-t corresponde à raiz -1 de multiplicidade 2, multiplicamos por t^2 e propomos
yp(t) = A t^2 e^-t

Passo 5

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = A,e^-t(2t - t^2),
yp'' = A,e^-t(2 - 4t + t^2)
Substituindo na equação original:
yp'' + 2yp' + yp = A,e^-t[2 - 4t + t^2 + 4t - 2t^2 + t^2] = 2A e^-t

Passo 6

Igualando ao lado direito 2e^-t temos 2A e^-t = 2e^-t, de onde A = 1. Então
yp(t) = t^2 e^-t

Passo 7

A solução geral da EDO é a soma de yh com yp:
y(t) = (C1 + C2 t)e^-t + t^2 e^-t

Resposta

y(t) = (C1 + C2 t)e^-t + t^2 e^-t

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