Em cada um dos Problemas de 1 a 12 . encontre a soluçâo geral da equaçâo diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem não-homogênea 6.
. O conteúdo é EDO linear com coeficientes constantes e termo de força exponencial. Vamos precisar resolver a parte homogênea (equação característica) e depois encontrar uma solução particular.
Passo 2
Para a parte homogênea, colocamos
e obtemos a equação característica:
Resolvendo, vemos que é um polinômio quadrado perfeito:
, logo a raiz é
de multiplicidade 2.
Passo 3
Quando a raiz
tem multiplicidade 2, a solução geral da homogênea é dada por:
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular para o termo
. Como
corresponde à raiz
de multiplicidade 2, multiplicamos por
e propomos
Passo 5
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação original:
Passo 6
Igualando ao lado direito
temos
, de onde
. Então
Passo 7
A solução geral da EDO é a soma de
com
: