Para as funções w=x e^y / z, x=t^2, y=1-t e z=1+2 t, determinar d wd t para t=12 usando a regra da cadeia.

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma função composta onde $ w = x \cdot e^{y/z} $. As outras funções são $ x = t^2 $, $ y = 1 - t $ e $ z = 1 + 2t $. O objetivo é encontrar a derivada de $ w $ em relação a $ t $ quando $ t = \frac{1}{2} $, usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar saber como derivar cada uma dessas funções em relação a $ t $.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas das funções $ x $, $ y $ e $ z $ em relação a $ t $:
  • $ x = t^2 $
    Derivando em relação a $ t $:
    x
  • $ y = 1 - t $
    Derivando em relação a $ t $:
    y
  • $ z = 1 + 2t $
    Derivando em relação a $ t $:
    z

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar $ \frac{dw}{dt} $. A função $ w $ depende de $ x $, $ y $ e $ z $, então usamos a derivada parcial:
dwdt
Vamos calcular cada parte:
  • $ \frac{\partial w}{\partial x} = e^{y/z} $
  • $ \frac{\partial w}{\partial y} = x \cdot e^{y/z} \cdot \frac{1}{z} $
  • $ \frac{\partial w}{\partial z} = x \cdot e^{y/z} \cdot \left( -\frac{y}{z^2} \right) $
Então, substituindo:
w

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
dwdt = 2t cdot e^y/z - xz cdot e^y/z - 2xyz^2 cdot e^y/z
Podemos fatorar $ e^{y/z} $ e $ x $:
e^y/z

Passo 5

Agora, vamos substituir $ t = \frac{1}{2} $ nas funções $ x $, $ y $ e $ z $:
  • $ t = \frac{1}{2} $
  • $ x = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} $
  • $ y = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $
  • $ z = 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 2 $

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão para $ \frac{dw}{dt} $:
dwdt
Simplificando cada termo:
  • $ e^{\frac{1}{4}} $
  • $ 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $
  • $ \frac{\frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{8} $
  • $ \frac{2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}}{4} = \frac{\frac{1}{4}}{4} = \frac{1}{16} $
Então:
dwdt = e^1/22 ( 2 cdot 12 - 142 - 2 cdot 14 cdot 122^2 )
e^14
2 cdot 12 = 1

Resposta

A derivada de $ w $ em relação a $ t $ quando $ t = \frac{1}{2} $ é:
w

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