Para as funções
e
, determinar
para
usando a regra da cadeia.
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma função composta onde $ w = x \cdot e^{y/z} $. As outras funções são $ x = t^2 $, $ y = 1 - t $ e $ z = 1 + 2t $. O objetivo é encontrar a derivada de $ w $ em relação a $ t $ quando $ t = \frac{1}{2} $, usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar saber como derivar cada uma dessas funções em relação a $ t $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas das funções $ x $, $ y $ e $ z $ em relação a $ t $:
-
$ x = t^2 $
Derivando em relação a $ t $: -
$ y = 1 - t $
Derivando em relação a $ t $: -
$ z = 1 + 2t $
Derivando em relação a $ t $:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar $ \frac{dw}{dt} $. A função $ w $ depende de $ x $, $ y $ e $ z $, então usamos a derivada parcial:
Vamos calcular cada parte:
- $ \frac{\partial w}{\partial x} = e^{y/z} $
- $ \frac{\partial w}{\partial y} = x \cdot e^{y/z} \cdot \frac{1}{z} $
- $ \frac{\partial w}{\partial z} = x \cdot e^{y/z} \cdot \left( -\frac{y}{z^2} \right) $
Então, substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar $ e^{y/z} $ e $ x $:
Passo 5
Agora, vamos substituir $ t = \frac{1}{2} $ nas funções $ x $, $ y $ e $ z $:
- $ t = \frac{1}{2} $
- $ x = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} $
- $ y = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $
- $ z = 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 2 $
Passo 6
Substituindo esses valores na expressão para $ \frac{dw}{dt} $:
Simplificando cada termo:
- $ e^{\frac{1}{4}} $
- $ 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $
- $ \frac{\frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{8} $
- $ \frac{2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}}{4} = \frac{\frac{1}{4}}{4} = \frac{1}{16} $
Então:
Resposta
A derivada de $ w $ em relação a $ t $ quando $ t = \frac{1}{2} $ é: