a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x0; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y1 e y2 (a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano W[y1, y2](x0), mostre que y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(3-x^2) y^prime prime-3 x y^prime-y=0, x0=0

Passo 1

Estamos resolvendo a EDO (3−x²)y″ − 3x
y′ − y = 0 em torno de x₀ = 0 por séries de potências.

Passo 2

Assumimos y = Σₙ₌₀^∞ aₙ xⁿ. Então y′ = Σₙ₌₁^∞ n
aₙ x^{n−1} e y″ = Σₙ₌₂^∞ n(n−1)
aₙ x^{n−2}. Substituindo na EDO e igualando coeficientes de xᵏ, obtemos a relação de recorrência:
$$a_{n+2} = \frac{n+1}{3, (n+2)};a_n,
\quad n=0,1,2,\dots$$

Passo 3

Para construir as duas soluções independentes, separamos o caso par (y₁) e ímpar (y₂):
  • Em y₁ tomamos a₀=1, a₁=0. Calculamos:
    a₂ = 1/(3⋅2)=1/6,
    a₄ = (2+1)/(3⋅4)⋅a₂ =1/24,
    a₆ = (4+1)/(3⋅6)⋅a₄ =5/432.
    Logo, y₁ = 1 + x²/6 + x⁴/24 + 5
    x⁶/432 + …
  • Em y₂ tomamos a₀=0, a₁=1. Calculamos:
    a₃ = (1+1)/(3⋅3)=2/9,
    a₅ = (3+1)/(3⋅5)⋅a₃ =8/135,
    a₇ = (5+1)/(3⋅7)⋅a₅ =16/945.
    Logo, y₂ = x + 2
    x³/9 + 8
    x⁵/135 + 16
    x⁷/945 + …

Passo 4

Calculamos o Wronskiano em x=0:
W(y₁,y₂)(0) = det [[y₁(0), y₂(0)],[y₁′(0), y₂′(0)]] = det [[1,0],[0,1]] = 1 ≠ 0,
logo y₁ e y₂ são fundamentalmente independentes.

Passo 5

Para o termo geral, agrupe pares e ímpares. Para m≥0:
a2m = a₀,binom2mm12^m, a2m+1 = a₁,4^m, (m!)^23^m,(2m+1)!

Resposta

a) Relação de recorrência: an+2 = n+13(n+2),an.
b) Quatro primeiros termos:
y1 = 1 + tfracx^26 + tfracx^424 + tfrac5x^6432 + cdots,
y2 = x + tfrac2x^39 + tfrac8x^5135 + tfrac16x^7945 + cdots.
c) Wronskiano em 0: W(y1,y2)(0)=1ne0, são independentes.
d) Termo geral:
a2m = a0binom2mm12^m, a2m+1 = a14^m(m!)^23^m(2m+1)!

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