a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções
e
(a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano
, mostre que
e
formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções
c. Calculando o wronskiano
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
Passo 1
Estamos resolvendo a EDO (3−x²)y″ − 3x
y′ − y = 0 em torno de x₀ = 0 por séries de potências.
Passo 2
Assumimos y = Σₙ₌₀^∞ aₙ xⁿ. Então y′ = Σₙ₌₁^∞ n
aₙ x^{n−1} e y″ = Σₙ₌₂^∞ n(n−1)
aₙ x^{n−2}. Substituindo na EDO e igualando coeficientes de xᵏ, obtemos a relação de recorrência:
aₙ x^{n−1} e y″ = Σₙ₌₂^∞ n(n−1)
aₙ x^{n−2}. Substituindo na EDO e igualando coeficientes de xᵏ, obtemos a relação de recorrência:
$$a_{n+2} = \frac{n+1}{3, (n+2)};a_n,
\quad n=0,1,2,\dots$$
Passo 3
Para construir as duas soluções independentes, separamos o caso par (y₁) e ímpar (y₂):
- Em y₁ tomamos a₀=1, a₁=0. Calculamos:
a₂ = 1/(3⋅2)=1/6,
a₄ = (2+1)/(3⋅4)⋅a₂ =1/24,
a₆ = (4+1)/(3⋅6)⋅a₄ =5/432.
Logo, y₁ = 1 + x²/6 + x⁴/24 + 5
x⁶/432 + … - Em y₂ tomamos a₀=0, a₁=1. Calculamos:
a₃ = (1+1)/(3⋅3)=2/9,
a₅ = (3+1)/(3⋅5)⋅a₃ =8/135,
a₇ = (5+1)/(3⋅7)⋅a₅ =16/945.
Logo, y₂ = x + 2
x³/9 + 8
x⁵/135 + 16
x⁷/945 + …
Passo 4
Calculamos o Wronskiano em x=0:
W(y₁,y₂)(0) = det [[y₁(0), y₂(0)],[y₁′(0), y₂′(0)]] = det [[1,0],[0,1]] = 1 ≠ 0,
logo y₁ e y₂ são fundamentalmente independentes.
W(y₁,y₂)(0) = det [[y₁(0), y₂(0)],[y₁′(0), y₂′(0)]] = det [[1,0],[0,1]] = 1 ≠ 0,
logo y₁ e y₂ são fundamentalmente independentes.
Passo 5
Para o termo geral, agrupe pares e ímpares. Para m≥0:
Resposta
a) Relação de recorrência:
.
b) Quatro primeiros termos:
,
.
c) Wronskiano em 0: , são independentes.
d) Termo geral:
b) Quatro primeiros termos:
c) Wronskiano em 0:
d) Termo geral: