Em cada um dos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equações dado.
x^prime=(rr1 & 1 4 & -2) x+binome^-2 t-2 e^t

Passo 1

A gente tem o sistema não homogêneo x'=Ax+f(t) com A=1&14&-2 e f(t)=e^-2t-2e^t. O conteúdo aqui é sistemas lineares de EDO de 1ª ordem: primeiro a solução da parte homogênea (autovalores/vetores) e depois uma solução particular por coeficientes indeterminados.

Passo 2

Vamos achar a solução homogênea xh. O polinômio característico é
det(A-lambda I)=1-lambda&14&-2-lambda=(1-lambda)(-2-lambda)-4=lambda^2+lambda-6=0
Então as raízes são lambda1=2 e lambda2=-3. Para lambda1=2, resolvemos
(A-2I)v=-1&14&-4v=0implies v1=11
Para lambda2=-3,
(A+3I)v=4&14&1v=0implies v2=1-4
Logo
xh=C1e^2t11+C2e^-3t1-4

Passo 3

Agora vamos à solução particular xp usando coeficientes indeterminados. Como f(t) tem termos e^-2t e e^t, chutamos
xp=alpha e^-2t+beta e^t,
com alpha=alpha1alpha2 e beta=beta1beta2. Substituindo em x'-Ax=f(t) e agrupando os termos:
Para e^-2t:
(-2I-A)alpha=-3&-1-4&0alpha=10
Dessa equação vem alpha1=0, alpha2=-1.
Para e^t:
(I-A)beta=0&-1-4&3beta=0-2
Dai beta1=tfrac12, beta2=0. Assim
xp=0-1e^-2t+tfrac120e^t =tfrac12e^t-e^-2t

Passo 4

A solução geral é a soma da homogênea com a particular, ou seja:
x(t)=C1e^2t11+C2e^-3t1-4+tfrac12e^t-e^-2t

Resposta

x(t)=C1e^2t11+C2e^-3t1-4+tfrac12e^t-e^-2t, C1,C2inR

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