Determine o campo gradiente nabla f(x, y) das funções dadas abaixo.
(f) f(x, y)=x e^x y.

Passo 1

Na função f(x,y)=x e^xy, queremos achar o campo gradiente nabla f(x,y), que é o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a x e y. Vamos usar conceitos de derivada parcial, regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Calcular partial fpartial x. Como f(x,y)=xcdot e^xy, aplicamos a regra do produto e regra da cadeia:
partial fpartial x=e^xy+xy e^xy=e^xy(1+xy)

Passo 3

Calcular partial fpartial y. Aqui x é tratado como constante e, pela regra da cadeia em e^xy, temos:
partial fpartial y=x^2e^xy

Resposta

O campo gradiente é
nabla f(x,y)=(e^xy(1+xy),,x^2e^xy)

Exercícios relacionados