Calcule
integralpi3^pi2 sen x cos ^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função trigonométrica de x, mais especificamente integralpi/3^pi/2 sin x,cos^2 x,dx. O conteúdo principal aqui é usar substituição para resolver integrais de funções compostas.

Passo 2

Para resolver, fazemos a substituição u=cos x. Então du = -sin x,dx, ou seja, sin x,dx = -,du. Isso nos permite trocar a parte trigonométrica por uma potência simples de u.

Passo 3

Agora ajustamos os limites. Quando x=pi/3, temos u=cos(pi/3)=1/2. Quando x=pi/2, temos u=cos(pi/2)=0. Substituindo na integral, obtemos
integralpi/3^pi/2sin x,cos^2 x,dx = integralu=1/2^u=0 u^2(-,du) = integral0^1/2 u^2,du

Passo 4

Agora basta integrar u^2. Sabemos que integral u^2,du = u^33. Avaliando de 0 a 1/2:
l[u^33r]0^1/2 = (1/2)^33 - 0 = 1/83 = 124

Resposta

124

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