Calcule.
integral1^4 x^3 e^x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral1^4 x^3 e^x^2 ,dx. O conteúdo envolve usar substituição para simplificar a expressão e depois integração por partes para resolver integral u e^u du.

Passo 2

Fazendo a substituição u = x^2, temos du = 2x,dx, então x^3dx = x^2 cdot x,dx = u cdot tfracdu2. Os limites também mudam: quando x=1, u=1; quando x=4, u=16. Assim:
integral1^4 x^3 e^x^2 ,dx = integralu=1^16 u e^u cdot du2 = 12 integral1^16 u e^u ,du
Para calcular integral u e^u du, aplicamos integração por partes. Escolhendo
u como u (para derivar) e dv = e^u du (para integrar), temos:
integral u e^u du = u e^u - integral e^u du = e^u(u-1) + C
Substituindo de volta na integral original, a primitiva é
F(x) = 12 e^x^2(x^2 - 1)
Agora avaliamos de x=1 a x=4:
Para x=4:
F(4) = 12 e^16(16 - 1) = 152e^16
Para x=1:
F(1) = 12 e^1(1 - 1) = 0
Subtraindo, obtemos o valor da integral:
integral1^4 x^3 e^x^2 ,dx = F(4) - F(1) = 152e^16 - 0 = 152e^16

Resposta

152e^16

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