Em cada um dos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equações dado.
x^prime=(ll2 & -1 3 & -2) x+binom1-1 e^t

Passo 1

A questão pede a solução geral do sistema não homogêneo x'=Ax+f(t), com
A=2 & -13 & -2, f(t)=1-1e^t
O conteúdo principal é teoria de sistemas lineares: primeiro achamos a solução do homogêneo, depois uma solução particular (por variação de parâmetros) e somamos ambas.

Passo 2

Para o sistema homogêneo x'=Ax, calculamos o polinômio característico
det(A-lambda I)=(2-lambda)(-2-lambda)+3=lambda^2-1=0
Logo lambda1=1 e lambda2=-1.
Para lambda1=1, resolvemos (A-I)v=0 e obtemos vetor próprio v1=(1,1)^T.
Para lambda2=-1, resolvemos (A+I)v=0 e obtemos v2=(1,3)^T.
Assim a solução homogênea é
xh(t)=C1e^t11+C2e^-t13

Passo 3

Para encontrar uma solução particular xp(t) usamos variação de parâmetros:
xp(t)=integral0^te^A(t-s)f(s),ds
Diagonalizando A=Sdiag(1,-1)S^-1 e calculando e^A(t-s) e a integral, chega-se a
xp(t)= 2t e^t-tfrac12e^t+tfrac12e^-t 2t e^t-tfrac32e^t+tfrac32e^-t

Passo 4

Somando as duas partes, a solução geral é
x(t)= C1e^t11+C2e^-t13+ 2t e^t-tfrac12e^t+tfrac12e^-t 2t e^t-tfrac32e^t+tfrac32e^-t ,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Resposta

$ x(t)=C1e^t11+C2e^-t13+2te^t-tfrac12e^t+tfrac12e^-t2te^t-tfrac32e^t+tfrac32e^-t, C1,C2inR

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