Calcule.
integralpi / 4^pi / 2 x^3 cos x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integralpi/4^pi/2 x^3cos(x^2),dx. O conteúdo principal aqui é substituição simples seguida de integração por partes.

Passo 2

Faço a substituição u = x^2, então du = 2x,dx, ou seja x,dx = tfrac12du. Observe que x^3,dx = x^2cdot x,dx = ucdottfrac12du.
Reescrevo a integral em função de u. Os limites mudam: quando x=pi/4, u=pi^2/16; quando x=pi/2, u=pi^2/4. Assim
integralpi/4^pi/2 x^3cos(x^2),dx = 12 integralpi^2/16^pi^2/4 ucos u,du

Passo 3

Agora faço integração por partes em integral ucos u,du. Tomo A=u e dB=cos u,du, então dA=du e B=sin u. Logo
integral ucos u,du = usin u - integral sin u,du = usin u + cos u + C

Passo 4

Volto à integral original incorporando o fator 1/2 e aplico os limites em u:
12l[usin u + cos ur]u=pi^2/16^u=pi^2/4

Resposta

12l(pi^24sintfracpi^24 + costfracpi^24 - pi^216sintfracpi^216 - costfracpi^216r).

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