Em cada um dos Problemas de 9 a 12 encontre a solução do problema de valor inicial dado. Depois faça um gráfico da solução.
y^(4)+2 y^prime prime+y=3 t+4 ; y(0)=y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=y^prime prime prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de 4ª ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo, e depois traçar o gráfico da solução. O conteúdo é resolução de EDOs lineares: vamos precisar achar a solução geral da homogênea (equação característica), uma particular (método de coeficientes a determinar) e aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a homogênea associada e sua equação característica:
y^(4) + 2y'' + y = 0
que leva a
r^4 + 2r^2 + 1 = 0 implies (r^2 +1)^2 = 0
ou seja, raízes duplas em r=pm i. Logo,
yh(t) = (C1 + C2 t)cos t + (C3 + C4 t)sin t.

Passo 3

Para a parte particular, tentamos polinomial de grau 1:
yp(t) = A t + B
Como yp''=0 e yp^(4)=0, basta
yp +2cdot0 = A t + B =3t+4
logo A=3 e B=4.

Passo 4

A solução geral é então
y(t) = (C1 + C2 t)cos t + (C3 + C4 t)sin t + 3t +4
Derivamos e aplicamos condições iniciais em t=0:
1) y(0)=C1+4=0 C1=-4.
2) y'(0)=C2+C3+3=0 C2+C3=-3.
3) y''(0)=2C4 -C1=1 2C4+4=1 C4=-3/2.
4) y'''(0)=-3C2 -C3=1. Substituindo C3=-3-C2 obtemos C2=1 e então C3=-4.

Resposta

A solução do IVP é
y(t) = (-4 + t)cos t + l(-4 - tfrac32tr)sin t + 3t + 4
Para traçar o gráfico, por exemplo em Python, use:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

t = np.linspace(0,10,400)
y = (-4 + t)*np.cos(t) + (-4 - 1.5*t)*np.sin(t) + 3*t + 4
plt.plot(t,y)
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('y(t)')
plt.title('Gráfico de y(t)')
plt.grid(True)
plt.show()

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