Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pela curva y=1 / x, pelas retas x=1, x=3 e y=0 ao redor do eixo x.

Passo 1

O problema pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada pela curva y = 1/x, pelas retas x = 1, x = 3 e pelo eixo x (ou seja, y=0). O conteúdo aqui é o método dos discos (ou discos de raio externo R(x)=f(x) e raio interno zero) e vamos precisar da fórmula
V = pi integrala^b [f(x)]^2 ,dx

Passo 2

Para aplicar o método dos discos, identificamos f(x)=1/x, a=1 e b=3. Assim, o volume é
V = pi integral1^3 l(tfrac1xr)^2 ,dx = pi integral1^3 x^-2 ,dx

Passo 3

Agora calculamos a integral indefinida de x^-2. Lembrando que integral x^ndx = x^n+1/(n+1) se nneq -1, temos
integral x^-2dx = x^-1-1 + C = -x^-1 + C

Passo 4

Para obter a integral definida, avaliamos de 1 a 3:
integral1^3 x^-2dx = l[-x^-1r]1^3 = l(-tfrac13r) - l(-1r) = 1 - tfrac13 = tfrac23

Passo 5

Finalmente, multiplicamos por pi para obter o volume:
V = pi cdot tfrac23 = tfrac2pi3

Resposta

tfrac2pi3

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