Em cada um dos Problemas de 13 a 18 determine uma forma adequada para Y(t) se for utilizado o método dos coeficientes indeterminados. Não calcule as constantes.
y^(4)+4 y^prime prime=sen 2 t+t e^t+4

Passo 1

Temos a EDO linear y^(4)+4y''=sin2t+t e^t+4. A técnica é o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em adivinhar uma forma para a solução particular Y(t) compatível com o termo-forçamento e com a solução homogênea.

Passo 2

A solução homogênea vem da equação característica
r^4+4r^2=0
que fatoriza em r^2(r^2+4)=0, gerando raízes r=0 (multiplicidade 2) e r=pm2i. Logo a solução complementar é yc = C1 + C2 t + C3 cos2t + C4 sin2t.

Passo 3

Para o termo sin2t, como pm2i já aparecem na solução complementar (raízes simples), o chute padrão Acos2t+Bsin2t conflita. Multiplicamos por t e obtemos
Y1(t)=tl(Acos2t+Bsin2tr)

Passo 4

Para o termo t e^t, a raiz associada r=1 não está na solução complementar. Então, como o polinômio é de grau 1, o chute é
Y2(t)=(Ct+D)e^t

Passo 5

Para o termo constante 4, como r=0 é raiz de multiplicidade 2, o chute para um polinômio de grau 0 é multiplicado por t^2, resultando em
Y3(t)=E t^2

Passo 6

A forma da solução particular Y(t) obtém-se somando Y1, Y2 e Y3 encontrados nos passos anteriores.

Resposta

Y(t)=tl(Acos2t+Bsin2tr)+(Ct+D)e^t+Et^2

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