Em cada um dos Problemas de 1 a 12.encontre a solução geral da equação dif
8.(y^{\prime}+y=3 \operatorname{sen} 2 t+t \cos 2 t)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y' + y = 3\operatorname{sen} 2t + t\cos 2t.
Informações dadas:
\text{equação: } y'(t)+y(t)=3\operatorname{sen} 2t+t\cos 2t.çã
O que se pede: encontrar a solução geral y(t), isto é, a família de todas as soluções, com a constante arbitrária de integração.

Passo 2

Escolhemos o método do fator integrante (vou explicar por que e como ele funciona). A equação tem a forma y'+p(t)y=q(t) com p(t)=1 e q(t)=3\sen2t+t\cos2t. O fator integrante é
\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}=e^{\int 1\,dt}=e^{t}.
Propriedade útil (que você precisa decorar): multiplicando a equação por \mu(t) a parte esquerda vira a derivada do produto \mu y, pois
\frac{d}{dt}\big(\mu(t)y(t)\big)=\mu(t)y'(t)+\mu'(t)y(t).
Aqui \mu'(t)=e^{t}, então \mu(t)y'(t)+\mu'(t)y(t)=e^{t}y'+e^{t}y, exatamente o que aparece ao multiplicar a equação por e^{t}.

Passo 3

Multiplicando a equação por e^{t} obtemos
e^{t}y'+e^{t}y = e^{t}\big(3\operatorname{sen} 2t + t\cos 2t\big).
Pelo raciocínio do passo anterior, a esquerda é a derivada de e^{t}y. Logo
\frac{d}{dt}\big(e^{t}y\big)=e^{t}\big(3\operatorname{sen} 2t + t\cos 2t\big).
Integrando ambos os lados em relação a t,
e^{t}y=\int e^{t}\big(3\operatorname{sen} 2t + t\cos 2t\big)\,dt + C,
onde C é a constante de integração. Agora o trabalho passa a ser calcular a integral
I=\int e^{t}\big(3\operatorname{sen} 2t + t\cos 2t\big)\,dt=3\int e^{t}\operatorname{sen} 2t\,dt+\int t e^{t}\cos 2t\,dt.

Passo 4

Calcule primeiro
A=\int e^{t}\operatorname{sen} 2t\,dt.
Usamos integração por partes duas vezes (ou o método padrão para \int e^{at}\operatorname{sen}(bt)\,dt). Faço duas integrações por partes para montar um sistema:
  1. Seja A=\int e^{t}\operatorname{sen} 2t\,dt. Tomando u=\sen2t e dv=e^{t}dt temos du=2\cos2t\,dt e v=e^{t}. Assim
A=e^{t}\sen2t-2\int e^{t}\cos2t\,dt.
  1. Defina B=\int e^{t}\cos2t\,dt. Fazendo u=\cos2t, dv=e^{t}dt obtemos du=-2\sen2t\,dt, v=e^{t}, então
B=e^{t}\cos2t+2\int e^{t}\sen2t\,dt=e^{t}\cos2t+2A.
Substituindo B na expressão de A:
A=e^{t}\sen2t-2\big(e^{t}\cos2t+2A\big)=e^{t}\sen2t-2e^{t}\cos2t-4A.
Reorganizando,
5A=e^{t}\big(\sen2t-2\cos2t\big),
portanto
\boxed{A=\int e^{t}\sen2t\,dt=\frac{e^{t}\big(\sen2t-2\cos2t\big)}{5}.}

Passo 5

Multiplicando por 3 obtemos a primeira parte da integral I:
3\int e^{t}\sen2t\,dt=\frac{3e^{t}\big(\sen2t-2\cos2t\big)}{5}.

Passo 6

Agora calcule
D=\int t e^{t}\cos2t\,dt.
Usamos integração por partes com u=t e dv=e^{t}\cos2t\,dt. Então du=dt e precisamos de uma primitiva para e^{t}\cos2t, que é precisamente B do passo anterior. Antes de aplicar a fórmula de partes, vamos obter a expressão explícita de B.

Passo 7

Usando a relação do passo 4:
B=\int e^{t}\cos2t\,dt=e^{t}\cos2t+2A.
Substituindo A da caixa do passo 4,
B=e^{t}\cos2t+2\cdot\frac{e^{t}\big(\sen2t-2\cos2t\big)}{5} =e^{t}\frac{\cos2t+2\sen2t}{5}.
Portanto
\boxed{B=\int e^{t}\cos2t\,dt=\frac{e^{t}\big(\cos2t+2\sen2t\big)}{5}.}

Passo 8

Voltemos a D=\int t e^{t}\cos2t\,dt. Aplicando integração por partes com u=t e dv=e^{t}\cos2t\,dt (logo v=B) obtemos
D = tB - \int B\,dt.
Substitua B=\dfrac{e^{t}\big(\cos2t+2\sen2t\big)}{5}. Então
\int B\,dt=\frac{1}{5}\int e^{t}\cos2t\,dt+\frac{2}{5}\int e^{t}\sen2t\,dt =\frac{1}{5}B+\frac{2}{5}A + C.
Agora substituímos as expressões explícitas de A e B (veja passos 4 e 7):
\int B\,dt=\frac{1}{5}\cdot\frac{e^{t}\big(\cos2t+2\sen2t\big)}{5} +\frac{2}{5}\cdot\frac{e^{t}\big(\sen2t-2\cos2t\big)}{5}+C.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 25 e somando os termos dentro dos parênteses:
\int B\,dt=\frac{e^{t}}{25}\big(\cos2t+2\sen2t+2\sen2t-4\cos2t\big)+C =\frac{e^{t}}{25}\big(-3\cos2t+4\sen2t\big)+C.

Passo 9

Substituindo em D=tB-\int B\,dt:
D = t\cdot\frac{e^{t}\big(\cos2t+2\sen2t\big)}{5} - \frac{e^{t}}{25}\big(-3\cos2t+4\sen2t\big)+C.
Colocando e^{t}/25 em evidência:
\boxed{D=\int t e^{t}\cos2t\,dt=\frac{e^{t}}{25}\Big((5t+3)\cos2t+(10t-4)\sen2t\Big)+C.}

Passo 10

Agora somamos as duas partes da integral I:
I=3\int e^{t}\sen2t\,dt + \int t e^{t}\cos2t\,dt.
Substituindo os resultados dos passos 5 e 9:
I=\frac{3e^{t}\big(\sen2t-2\cos2t\big)}{5} +\frac{e^{t}}{25}\Big((5t+3)\cos2t+(10t-4)\sen2t\Big)+C.
Colocando tudo sobre 25 e somando os termos semelhantes (lembre de agrupar os coeficientes de \cos2t e \sen2t):
I=\frac{e^{t}}{25}\Big((5t-27)\cos2t+(10t+11)\sen2t\Big)+C.

Passo 11

Voltando à expressão para e^{t}y:
e^{t}y = I + C_1 = \frac{e^{t}}{25}\Big((5t-27)\cos2t+(10t+11)\sen2t\Big) + C_1,
onde C_1 é constante de integração (absorvi constantes anteriores em C_1). Dividindo por e^{t} obtemos a solução geral:
\boxed{y(t)=\frac{(5t-27)\cos2t+(10t+11)\sen2t}{25}+C e^{-t},}
onde C é constante arbitrária real.

Resposta

y(t)=\frac{(5t-27)\cos2t+(10t+11)\sen2t}{25}+C e^{-t}

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