Em cada um dos Problemas de 1 a 12.encontre a solução geral da equação dif
8.(y^{\prime}+y=3 \operatorname{sen} 2 t+t \cos 2 t)
8.(y^{\prime}+y=3 \operatorname{sen} 2 t+t \cos 2 t)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
O que se pede: encontrar a solução geral
, isto é, a família de todas as soluções, com a constante arbitrária de integração.
Passo 2
Escolhemos o método do fator integrante (vou explicar por que e como ele funciona). A equação tem a forma
com
e
. O fator integrante é
Propriedade útil (que você precisa decorar): multiplicando a equação por
a parte esquerda vira a derivada do produto
, pois
Aqui
, então
, exatamente o que aparece ao multiplicar a equação por
.
Passo 3
Multiplicando a equação por
obtemos
Pelo raciocínio do passo anterior, a esquerda é a derivada de
. Logo
Integrando ambos os lados em relação a
,
onde
é a constante de integração. Agora o trabalho passa a ser calcular a integral
Passo 4
Calcule primeiro
Usamos integração por partes duas vezes (ou o método padrão para
). Faço duas integrações por partes para montar um sistema:
- Seja
. Tomando e temos e . Assim
- Defina
. Fazendo , obtemos , , então
Substituindo
na expressão de
:
Reorganizando,
portanto
Passo 5
Multiplicando por
obtemos a primeira parte da integral
:
Passo 6
Agora calcule
Usamos integração por partes com
e
. Então
e precisamos de uma primitiva para
, que é precisamente
do passo anterior. Antes de aplicar a fórmula de partes, vamos obter a expressão explícita de
.
Passo 7
Usando a relação do passo 4:
Substituindo
da caixa do passo 4,
Portanto
Passo 8
Voltemos a
. Aplicando integração por partes com
e
(logo
) obtemos
Substitua
. Então
Agora substituímos as expressões explícitas de
e
(veja passos 4 e 7):
Colocando tudo sobre o mesmo denominador
e somando os termos dentro dos parênteses:
Passo 9
Substituindo em
:
Colocando
em evidência:
Passo 10
Agora somamos as duas partes da integral
:
Substituindo os resultados dos passos 5 e 9:
Colocando tudo sobre
e somando os termos semelhantes (lembre de agrupar os coeficientes de
e
):
Passo 11
Voltando à expressão para
:
onde
é constante de integração (absorvi constantes anteriores em
). Dividindo por
obtemos a solução geral:
onde
é constante arbitrária real.