Em cada um dos Problemas de 13 a 18 ,encontre a soluçăo do problema de va
(1)
,
(1)
Passo 1
O enunciado pede encontrar a solução da equação diferencial com condições iniciais
Informações dadas: a equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes; o termo do lado direito (força externa) é
(isto é,
é uma constante multiplicando
, e há também a constante
). A tarefa é achar a função
que satisfaz a equação e as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
Formamos a equação característica substituindo
:
Resolvendo essa quadrática:
Quando a raiz
é dupla, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais. Explicação breve: para raízes simples usamos
; para raiz dupla
usamos
e
.
Passo 3
Agora procuramos uma solução particular
para a equação completa. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados.
Observação sobre o termo direito: é um polinômio de grau
(já que
é apenas uma constante). Para um termo polinomial de grau
tentamos um polinômio de grau
como candidata:
Observação sobre o termo direito:
com
constantes desconhecidas. (Não precisamos multiplicar por
por “ressonância” porque as soluções homogêneas têm fator
, não polinômios puros.)
Passo 4
Calculamos as derivadas de
e substituímos na equação:
Substituindo em
obtemos
Essa expressão deve ser igual ao termo direito
. Igualando coeficientes do polinômio em
:
- coeficiente de
: , - termo constante:
.
Logo
Passo 5
A solução geral da equação completa é soma da homogênea com a particular:
Passo 6
Precisamos aplicar as condições iniciais, então calculamos
. Derivando termo a termo:
derivada de (regra do produto):
derivada de
Derivada de
é
. Portanto
Passo 7
Aplicamos as condições iniciais:
Para
,
:
Logo
Para
,
:
Isolando
:
Substituindo
:
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais: