Em cada um dos Problemas de 13 a 18 ,encontre a soluçăo do problema de va
(1) y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=t e^{2}+4
y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede encontrar a solução da equação diferencial com condições iniciais
y''-2y'+y = t e^{2}+4,
y(0)=1,\qquad y'(0)=1.
Informações dadas: a equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes; o termo do lado direito (força externa) é \;t e^{2}+4\; (isto é, e^{2} é uma constante multiplicando t, e há também a constante 4). A tarefa é achar a função y(t) que satisfaz a equação e as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
y''-2y'+y=0.
Formamos a equação característica substituindo y\mapsto e^{rt}:
r^{2}-2r+1=0.
Resolvendo essa quadrática:
r^{2}-2r+1=(r-1)^{2}=0\implies r=1\\ (\text{raiz dupla}).
Quando a raiz r é dupla, a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=(C_{1}+C_{2}t)e^{t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais. Explicação breve: para raízes simples usamos e^{rt}; para raiz dupla r usamos e^{rt} e t e^{rt}.

Passo 3

Agora procuramos uma solução particular y_{p}(t) para a equação completa. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados.
Observação sobre o termo direito: \;t e^{2}+4=e^{2}\,t+4 é um polinômio de grau 1 (já que e^{2} é apenas uma constante). Para um termo polinomial de grau 1 tentamos um polinômio de grau 1 como candidata:
y_{p}(t)=A t + B,
com A,B constantes desconhecidas. (Não precisamos multiplicar por t por “ressonância” porque as soluções homogêneas têm fator e^{t}, não polinômios puros.)

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_{p} e substituímos na equação:
y_{p}'(t)=A,\qquad y_{p}''(t)=0.
Substituindo em y''-2y'+y obtemos
0 - 2A + (A t + B) = A t + (B-2A).
Essa expressão deve ser igual ao termo direito e^{2}t + 4. Igualando coeficientes do polinômio em t:
  • coeficiente de t: A = e^{2},
  • termo constante: B-2A = 4.
Logo
A=e^{2},\qquad B = 4 + 2A = 4 + 2e^{2}.

Passo 5

A solução geral da equação completa é soma da homogênea com a particular:
y(t) = y_{h}(t)+y_{p}(t) = (C_{1}+C_{2}t)e^{t} + e^{2}t + 4 + 2e^{2}.

Passo 6

Precisamos aplicar as condições iniciais, então calculamos y'(t). Derivando termo a termo:
derivada de (C_{1}+C_{2}t)e^{t} (regra do produto):
\frac{d}{dt}\big[(C_{1}+C_{2}t)e^{t}\big] = C_{2}e^{t} + (C_{1}+C_{2}t)e^{t} = (C_{1}+C_{2}+C_{2}t)e^{t}.
Derivada de e^{2}t + 4 + 2e^{2} é e^{2}. Portanto
y'(t) = (C_{1}+C_{2}+C_{2}t)e^{t} + e^{2}.

Passo 7

Aplicamos as condições iniciais:
Para t=0, y(0)=1:
y(0) = (C_{1}+C_{2}\cdot 0)e^{0} + e^{2}\cdot 0 + 4 + 2e^{2} = C_{1} + 4 + 2e^{2} = 1.
Logo
C_{1} = 1 - 4 - 2e^{2} = -3 - 2e^{2}.
Para t=0, y'(0)=1:
y'(0) = (C_{1}+C_{2}+C_{2}\cdot 0)e^{0} + e^{2} = C_{1}+C_{2}+e^{2} = 1.
Isolando C_{2}:
C_{2} = 1 - e^{2} - C_{1}.
Substituindo C_{1}=-3-2e^{2}:
C_{2} = 1 - e^{2} - (-3 - 2e^{2}) = 1 - e^{2} + 3 + 2e^{2} = 4 + e^{2}.

Passo 8

Substituindo C_{1} e C_{2} na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
y(t) = \bigl(-3 - 2e^{2} + (4 + e^{2})t\bigr)e^{t} + e^{2}t + 4 + 2e^{2}.

Resposta

y(t)=\bigl(-3 - 2e^{2} + (4 + e^{2})t\bigr)e^{t} + e^{2}t + 4 + 2e^{2}

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