Questão: Use o método da bisseção para calcular uma solução de
no intervalo
com precisão pré-fixada
. Justifique tudo o que for necessário para garantir convergência.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, pelo método da bisseção, uma solução da equação
no intervalo
com precisão pré-fixada
.
Informações dadas e coisas explícitas no enunciado:
Informações dadas e coisas explícitas no enunciado:
- Intervalo inicial:
. - Precisão desejada:
. - Equação a resolver:
.
Passo 2
Transformamos a equação em uma forma padrão para métodos numéricos, definindo a função
Procuramos um ponto
em
tal que
. Aqui
é bem definida para todo
porque
é definida para todo real.
Passo 3
Verificamos o sinal de
nas extremidades do intervalo para garantir existência de raiz (teorema do valor intermediário). Calculamos
e numericamente
Também
Como
e
e
é contínua (soma de funções contínuas), pelo teorema do valor intermediário existe pelo menos um
tal que
.
Passo 4
Justificamos agora unicidade da raiz no intervalo. Calculamos a derivada
Para
temos
, logo
Além disso
para
, portanto
em
e
é estritamente decrescente neste intervalo. Conclusão: existe exatamente uma raiz em
.
Passo 5
Explicação do método da bisseção e critério de parada: dado um intervalo inicial
com
, o método calcula sucessivos pontos médios
e escolhe o subintervalo
de comprimento
que contém a raiz (onde
). Após
iterações o comprimento do intervalo é
Se tomarmos como aproximação o ponto médio
do intervalo atual, o erro está limitado por
Queremos garantir
. Portanto basta escolher
tal que
No nosso caso
e
. Então exigimos
Tomando logaritmo em base 2,
Logo é suficiente fazer
iterações do algoritmo para garantir o erro menor ou igual a
. (Outra forma: exigir diretamente
dá
.)
Passo 6
Vamos executar as iterações do método da bisseção até
. Inicialmente
,
.
Iteração 1: ponto médio
Calculamos
Como
e
, a raiz está no subintervalo
.
Passo 7
Iteração 2: com
,
,
Calculamos
Como
e
, a raiz está em
.
Passo 8
Iteração 3: com
,
,
Calculamos
Como
e
, a raiz está em
.
Passo 9
Iteração 4: com
,
,
Calculamos
Usando
(obtido a partir de
), obtemos
Agora
e
, então a raiz pertence ao intervalo
O comprimento desse intervalo é
Tomamos como aproximação o ponto médio do intervalo atual
O erro está limitado por
portanto a aproximação satisfaz a precisão exigida.
Passo 10
Resumo final e interpretação: após
iterações obtivemos o intervalo
que contém a raiz única, e a aproximação pelo ponto médio é
com erro garantido menor que
. Fica claro também que o método converge porque
é contínua e muda de sinal no intervalo inicial; a monotonicidade garante unicidade.