2^{\mathrm{a}} Questão: Use o método da bisseção para calcular uma solução de e^{x}=x+2 no intervalo [-2,0] com precisão pré-fixada \varepsilon=10^{-1}. Justifique tudo o que for necessário para garantir convergência.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, pelo método da bisseção, uma solução da equação e^{x}=x+2 no intervalo [-2,0] com precisão pré-fixada \varepsilon=10^{-1}.
Informações dadas e coisas explícitas no enunciado:
  • Intervalo inicial: [-2,0].
  • Precisão desejada: \varepsilon=10^{-1}.
  • Equação a resolver: e^{x}=x+2.

Passo 2

Transformamos a equação em uma forma padrão para métodos numéricos, definindo a função
f(x)=e^{x}-x-2.
Procuramos um ponto \xi em [-2,0] tal que f(\xi)=0. Aqui f é bem definida para todo x\in\mathbb{R} porque e^{x} é definida para todo real.

Passo 3

Verificamos o sinal de f nas extremidades do intervalo para garantir existência de raiz (teorema do valor intermediário). Calculamos
f(-2)=e^{-2}-(-2)-2=e^{-2},
e numericamente
e^{-2}\approx 0{,}135335>0.
Também
f(0)=e^{0}-0-2=1-2=-1<0.
Como f(-2)>0 e f(0)<0 e f é contínua (soma de funções contínuas), pelo teorema do valor intermediário existe pelo menos um \xi\in[-2,0] tal que f(\xi)=0.

Passo 4

Justificamos agora unicidade da raiz no intervalo. Calculamos a derivada
f'(x)=e^{x}-1.
Para x\in[-2,0] temos e^{x}\le e^{0}=1, logo
f'(x)=e^{x}-1\le 0.
Além disso e^{x}-1<0 para x<0, portanto f'\le 0 em [-2,0] e f é estritamente decrescente neste intervalo. Conclusão: existe exatamente uma raiz em [-2,0].

Passo 5

Explicação do método da bisseção e critério de parada: dado um intervalo inicial [a_{0},b_{0}] com f(a_{0})f(b_{0})<0, o método calcula sucessivos pontos médios
c_{n}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2},
e escolhe o subintervalo [a_{n+1},b_{n+1}] de comprimento L_{n+1}=\tfrac{1}{2}L_{n} que contém a raiz (onde L_{0}=b_{0}-a_{0}). Após n iterações o comprimento do intervalo é
L_{n}=\frac{L_{0}}{2^{n}}.
Se tomarmos como aproximação o ponto médio c_{n} do intervalo atual, o erro está limitado por
|c_{n}-\xi|\le \frac{L_{n}}{2}=\frac{L_{0}}{2^{n+1}}.
Queremos garantir |c_{n}-\xi|\le\varepsilon. Portanto basta escolher n tal que
\frac{L_{0}}{2^{n+1}}\le\varepsilon.
No nosso caso L_{0}=0-(-2)=2 e \varepsilon=10^{-1}=0{,}1. Então exigimos
\frac{2}{2^{n+1}}\le 0{,}1 \quad\Longleftrightarrow\quad 2^{n+1}\ge\frac{2}{0{,}1}=20.
Tomando logaritmo em base 2,
n+1\ge \log_{2}(20)\approx 4{,}3219 \quad\Longrightarrow\quad n\ge 3{,}3219.
Logo é suficiente fazer n=4 iterações do algoritmo para garantir o erro menor ou igual a \varepsilon. (Outra forma: exigir diretamente L_{n}\le 2\varepsilon n\ge\lceil\log_{2}(L_{0}/(2\varepsilon))\rceil=\lceil\log_{2}(10)\rceil=4.)

Passo 6

Vamos executar as iterações do método da bisseção até n=4. Inicialmente a_{0}=-2, b_{0}=0.
Iteração 1: ponto médio
c_{1}=\frac{-2+0}{2}=-1.
Calculamos
f(-1)=e^{-1}-(-1)-2=e^{-1}-1\approx 0{,}367879-1=-0{,}632121<0.
Como f(-2)>0 e f(-1)<0, a raiz está no subintervalo [a_{1},b_{1}]=[-2,-1].

Passo 7

Iteração 2: com a_{1}=-2, b_{1}=-1,
c_{2}=\frac{-2+(-1)}{2}=-1{,}5.
Calculamos
f(-1{,}5)=e^{-1{,}5}-(-1{,}5)-2=e^{-1{,}5}-0{,}5\approx 0{,}223130-0{,}5=-0{,}276870<0.
Como f(-2)>0 e f(-1{,}5)<0, a raiz está em [a_{2},b_{2}]=[-2,-1{,}5].

Passo 8

Iteração 3: com a_{2}=-2, b_{2}=-1{,}5,
c_{3}=\frac{-2+(-1{,}5)}{2}=-1{,}75.
Calculamos
f(-1{,}75)=e^{-1{,}75}-(-1{,}75)-2=e^{-1{,}75}-0{,}25\approx 0{,}173774-0{,}25=-0{,}076226<0.
Como f(-2)>0 e f(-1{,}75)<0, a raiz está em [a_{3},b_{3}]=[-2,-1{,}75].

Passo 9

Iteração 4: com a_{3}=-2, b_{3}=-1{,}75,
c_{4}=\frac{-2+(-1{,}75)}{2}=-1{,}875.
Calculamos
f(-1{,}875)=e^{-1{,}875}-(-1{,}875)-2=e^{-1{,}875}-0{,}125.
Usando e^{-1{,}875}\approx 0{,}153354 (obtido a partir de e^{-1{,}875}=e^{-1{,}75}e^{-0{,}125}), obtemos
f(-1{,}875)\approx 0{,}153354-0{,}125=0{,}028354>0.
Agora f(-1{,}875)>0 e f(-1{,}75)<0, então a raiz pertence ao intervalo
[a_{4},b_{4}]=[-1{,}875,-1{,}75].
O comprimento desse intervalo é
L_{4}=b_{4}-a_{4}=0{,}125.
Tomamos como aproximação o ponto médio do intervalo atual
\tilde{\xi}= \frac{-1{,}875+(-1{,}75)}{2}=-1{,}8125.
O erro está limitado por
|\tilde{\xi}-\xi|\le \frac{L_{4}}{2}=0{,}0625<0{,}1=\varepsilon,
portanto a aproximação satisfaz a precisão exigida.

Passo 10

Resumo final e interpretação: após 4 iterações obtivemos o intervalo [-1{,}875,-1{,}75] que contém a raiz única, e a aproximação pelo ponto médio é \tilde{\xi}=-1{,}8125 com erro garantido menor que \varepsilon=0{,}1. Fica claro também que o método converge porque f é contínua e muda de sinal no intervalo inicial; a monotonicidade garante unicidade.

Resposta

-1{,}8125

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