Seja
, tal que
sen
. Verifique se
é contínua em
.
Passo 1
O enunciado fornece que existe
tal que, para todo
,
A pergunta é: verificar se
é contínua em
.\n
Informações importantes dadas:
Informações importantes dadas:
O que precisamos mostrar: que
. Não vamos resolver ainda; apenas listei o que temos e o que se pede.
Passo 2
Lembrete útil (definição de continuidade num ponto, explicado devagar): dizer que
é contínua em
significa exatamente que
Então a nossa estratégia natural é (1) calcular
usando as desigualdades dadas e (2) calcular
(usando as desigualdades em
). Se os dois resultados coincidirem, concluímos continuidade. Vou mostrar passo a passo como obter
.
Passo 3
Calcular
.
Primeiro uma observação simples: para todo
temos
. Multiplicando por
obtemos
Isto implica as desigualdades
Como
, pela desigualdade em cadeia (teorema do confronto/squeeze) segue que
Explicando em palavras:
está “presas” entre
e
, e ambos tendem a
, então
também tende a
.
Passo 4
Calcular
.
Sabemos que para todo
vale
. Multiplicando por
(note que
é sempre não negativo) obtemos
Como
, novamente pelo teorema do confronto temos
Ou seja, o limite do majorante é
.
Passo 5
Aplicar o teorema do confronto às três funções.
Pelo dado do enunciado, para
em
temos
Nos passos anteriores vimos que
Como o limite da função inferior e da função superior é o mesmo (
), o teorema do confronto implica
Em palavras:
fica aprisionada entre duas funções que ambas tendem a
, logo
também tende a
.
Passo 6
Calcular o valor
usando as desigualdades no ponto
.
Substituindo
nas desigualdades dadas (a desigualdade vale para todos
no intervalo, e
pertence a esse intervalo), obtemos
Calculando os termos numéricos:
e
, portanto
Isso só é possível se
.
Passo 7
Concluir continuidade.
Do Passo 5 temos
. Do Passo 6 temos
. Portanto
ou seja,
é contínua em
. Força aí — conseguimos mostrar que, apesar de não sabermos a fórmula explícita de
, as desigualdades nos garantem continuidade em
.
Resposta
Sim.
é contínua em
.