Seja f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, tal que x sen x \leq f(x) \leq x^{2} \cos ^{2} x, \quad \forall x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right). Verifique se f é contínua em x=0.

Passo 1

O enunciado fornece que existe f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} tal que, para todo x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right),
x\sin x \le f(x) \le x^{2}\cos^{2}x.
A pergunta é: verificar se f é contínua em x=0.\n
Informações importantes dadas:
\text{(i)}\quad x\sin x \le f(x) \le x^{2}\cos^{2}x\quad\text{para todo }x\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right).
O que precisamos mostrar: que \displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=f(0). Não vamos resolver ainda; apenas listei o que temos e o que se pede.

Passo 2

Lembrete útil (definição de continuidade num ponto, explicado devagar): dizer que f é contínua em x=0 significa exatamente que
\lim_{x\to 0} f(x)=f(0).
Então a nossa estratégia natural é (1) calcular \lim_{x\to 0} f(x) usando as desigualdades dadas e (2) calcular f(0) (usando as desigualdades em x=0). Se os dois resultados coincidirem, concluímos continuidade. Vou mostrar passo a passo como obter \lim_{x\to 0} f(x).

Passo 3

Calcular \displaystyle\lim_{x\to 0} x\sin x.
Primeiro uma observação simples: para todo x temos |\sin x|\le 1. Multiplicando por |x| obtemos
|x\sin x|\le |x|.
Isto implica as desigualdades
-|x|\le x\sin x \le |x|.
Como \displaystyle\lim_{x\to 0}|x|=0, pela desigualdade em cadeia (teorema do confronto/squeeze) segue que
\lim_{x\to 0} x\sin x = 0.
Explicando em palavras: x\sin x está “presas” entre -|x| e |x|, e ambos tendem a 0, então x\sin x também tende a 0.

Passo 4

Calcular \displaystyle\lim_{x\to 0} x^{2}\cos^{2}x.
Sabemos que para todo x vale 0\le \cos^{2}x\le 1. Multiplicando por x^{2}\ge 0 (note que x^{2} é sempre não negativo) obtemos
0 \le x^{2}\cos^{2}x \le x^{2}.
Como \displaystyle\lim_{x\to 0} x^{2}=0, novamente pelo teorema do confronto temos
\lim_{x\to 0} x^{2}\cos^{2}x = 0.
Ou seja, o limite do majorante é 0.

Passo 5

Aplicar o teorema do confronto às três funções.
Pelo dado do enunciado, para x em \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right) temos
x\sin x \le f(x) \le x^{2}\cos^{2}x.
Nos passos anteriores vimos que
\lim_{x\to 0} x\sin x = 0\quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0} x^{2}\cos^{2}x = 0.
Como o limite da função inferior e da função superior é o mesmo ( 0), o teorema do confronto implica
\lim_{x\to 0} f(x) = 0.
Em palavras: f(x) fica aprisionada entre duas funções que ambas tendem a 0, logo f(x) também tende a 0.

Passo 6

Calcular o valor f(0) usando as desigualdades no ponto x=0.
Substituindo x=0 nas desigualdades dadas (a desigualdade vale para todos x no intervalo, e 0 pertence a esse intervalo), obtemos
0\cdot\sin 0 \le f(0) \le 0^{2}\cos^{2}0.
Calculando os termos numéricos: \sin 0=0 e \cos 0=1, portanto
0 \le f(0) \le 0.
Isso só é possível se f(0)=0.

Passo 7

Concluir continuidade.
Do Passo 5 temos \displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)=0. Do Passo 6 temos f(0)=0. Portanto
\lim_{x\to 0} f(x)=f(0),
ou seja, f é contínua em x=0. Força aí — conseguimos mostrar que, apesar de não sabermos a fórmula explícita de f, as desigualdades nos garantem continuidade em 0.

Resposta

Sim. f é contínua em x=0.

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