Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
\iiint_{W}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}} d x d y d z, onde W é a região dada por:
i) W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq a^{2}\right\}.
ii) W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq z\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral tripla
\iiint_{W}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\,dx\,dy\,dz
em dois casos distintos, onde a função integranda é a raiz da soma dos quadrados das coordenadas (ou seja, a distância ao origem). As duas regiões são:
i) W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le a^{2}\}.
ii) W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le z\}.
As perguntas são: calcular explicitamente a integral para (i) e para (ii). As informações relevantes do enunciado que vamos usar (já anotadas aqui para ter tudo claro):
  • A integranda é \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{1/2}.
  • As regiões W são respeitivamente: uma esfera centrada na origem de raio a (caso i) e uma região definida por x^{2}+y^{2}+z^{2}\le z (caso ii), que pode ser reescrita completando o quadrado para identificar melhor a forma geométrica.
    Nada mais é fornecido; vamos calcular as integrais explicitamente.

Passo 2

Motivação da mudança de variáveis e definição das coordenadas esféricas (a aula curta que precisava agora).
Quando a integranda e/ou a região dependem de x^{2}+y^{2}+z^{2} é quase sempre muito conveniente usar coordenadas esféricas porque:
  • Em coordenadas esféricas usa-se as variáveis \rho, \varphi, \theta definidas por
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,
com \rho\ge0, \varphi\in[0,\pi] (ângulo polar medido a partir do eixo z positivo) e \theta\in[0,2\pi) (azimute no plano xy).
  • A distância ao origem fica simplesmente \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\rho. Isso simplifica muito a integranda.
  • O elemento de volume dx\,dy\,dz se transforma em
dx\,dy\,dz=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Explicando porquê em palavras: o fator \rho^{2}\sin\varphi é o determinante da transformação (Jacobiano) e pode ser visualizado como a área da “casquinha” esférica de raio \rho quando se faz a variação nos ângulos; é um resultado padrão para coordenadas esféricas que usaremos aqui.
Assim, na mudança para esféricas a integranda \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{1/2} vira \rho e o volume adiciona \rho^{2}\sin\varphi, ficando o integrando total \rho\cdot\rho^{2}\sin\varphi=\rho^{3}\sin\varphi.

Passo 3

Resolvendo o caso (i): esfera de centro na origem e raio a.
Descrição da região em esféricas: dentro da esfera de raio a significa simplesmente 0\le\rho\le a, com \varphi variando de 0 a \pi e \theta de 0 a 2\pi.
Montando a integral em esféricas:
\iiint_{W}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{1/2}\,dx\,dy\,dz = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{a} \rho^{3}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Agora calculo passo a passo as integrais iteradas.

Passo 4

Cálculo do caso (i) (continuação; integrais elementares):
Primeiro integrar em \rho:
\int_{0}^{a}\rho^{3}\,d\rho=\left[\frac{\rho^{4}}{4}\right]_{0}^{a}=\frac{a^{4}}{4}.
Depois integrar em \varphi:
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi=\left[-\cos\varphi\right]_{0}^{\pi}=(-\cos\pi)-(-\cos 0)=(-(-1))-( -1)=2.
E em \theta:
\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.
Multiplicando os resultados (ordem das integrais não altera o produto):
\frac{a^{4}}{4}\times 2 \times 2\pi = \frac{a^{4}}{4}\times 4\pi = \pi a^{4}.
Portanto o valor da integral no caso (i) é \pi a^{4}.

Passo 5

Resolvendo o caso (ii): região dada por \;x^{2}+y^{2}+z^{2}\le z.
Primeiro é útil manipular a desigualdade para reconhecer a forma geométrica. Reescrevo completando o quadrado em z:
x^{2}+y^{2}+z^{2}\le z \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-z\le 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+y^{2}+\left(z-\tfrac{1}{2}\right)^{2}\le \frac{1}{4}.
Isto mostra que W é a bola de centro (0,0,\tfrac{1}{2}) e raio \tfrac{1}{2}. Geometricamente é uma bola deslocada para cima que toca a origem (de fato o ponto (0,0,0) satisfaz a igualdade).
Agora passo para coordenadas esféricas. Como z=\rho\cos\varphi e x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}, a desigualdade original vira
\rho^{2}\le \rho\cos\varphi.
Para \rho\ge0 isso é equivalente a
\rho\le\cos\varphi.
Observe que isso só faz sentido quando \cos\varphi\ge0, ou seja \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}]. Portanto em coordenadas esféricas a região W é dada por
0\le\theta\le 2\pi,\qquad 0\le\varphi\le \frac{\pi}{2},\qquad 0\le\rho\le\cos\varphi.

Passo 6

Montagem e cálculo da integral no caso (ii).
Em esféricas o integrando e o elemento de volume dão novamente \rho^{3}\sin\varphi, então
\iiint_{W}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{1/2}\,dx\,dy\,dz = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\cos\varphi} \rho^{3}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Faço a integral em \rho primeiro:
\int_{0}^{\cos\varphi}\rho^{3}\,d\rho=\left[\frac{\rho^{4}}{4}\right]_{0}^{\cos\varphi}=\frac{\cos^{4}\varphi}{4}.
Logo a integral reduz a
\int_{0}^{2\pi}d\theta\;\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos^{4}\varphi}{4}\sin\varphi\,d\varphi =2\pi\cdot\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\varphi\sin\varphi\,d\varphi =\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\varphi\sin\varphi\,d\varphi.
Agora uso a substituição simples u=\cos\varphi, então du=-\sin\varphi\,d\varphi. Quando \varphi varia de 0 a \tfrac{\pi}{2}, u varia de 1 a 0. Assim
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\varphi\sin\varphi\,d\varphi = \int_{1}^{0}u^{4}(-du)=\int_{0}^{1}u^{4}\,du=\left[\frac{u^{5}}{5}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{5}.
Multiplicando pelo fator \frac{\pi}{2} obtemos o resultado final do caso (ii):
\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{5}=\frac{\pi}{10}.

Passo 7

Pequeno comentário final e incentivo: os passos essenciais foram reconhecer que a integranda depende só da distância ao origem e que as regiões são esferas (no caso ii) talvez deslocada), por isso coordenadas esféricas tornam tudo direto — a integranda vira \rho e o Jacobiano traz \rho^{2}\sin\varphi, simplificando para \rho^{3}\sin\varphi. Se ficou alguma conta cansativa, respira, relê com calma cada substituição e a ordem das integrais; você já sabe aplicar em provas agora!

Resposta

i) \pi a^{4}
ii) \dfrac{\pi}{10}

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