Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
, onde
é a região dada por:
i)
.
ii)
.
i)
ii)
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral tripla
em dois casos distintos, onde a função integranda é a raiz da soma dos quadrados das coordenadas (ou seja, a distância ao origem). As duas regiões são:
i)
.
ii)
.
As perguntas são: calcular explicitamente a integral para (i) e para (ii). As informações relevantes do enunciado que vamos usar (já anotadas aqui para ter tudo claro):
- A integranda é
. - As regiões
são respeitivamente: uma esfera centrada na origem de raio (caso i) e uma região definida por (caso ii), que pode ser reescrita completando o quadrado para identificar melhor a forma geométrica.
Nada mais é fornecido; vamos calcular as integrais explicitamente.
Passo 2
Motivação da mudança de variáveis e definição das coordenadas esféricas (a aula curta que precisava agora).
Quando a integranda e/ou a região dependem de
é quase sempre muito conveniente usar coordenadas esféricas porque:
- Em coordenadas esféricas usa-se as variáveis
, , definidas por
com
,
(ângulo polar medido a partir do eixo
positivo) e
(azimute no plano
).
-
A distância ao origem fica simplesmente
. Isso simplifica muito a integranda. -
O elemento de volume
se transforma em
Explicando porquê em palavras: o fator
é o determinante da transformação (Jacobiano) e pode ser visualizado como a área da “casquinha” esférica de raio
quando se faz a variação nos ângulos; é um resultado padrão para coordenadas esféricas que usaremos aqui.
Assim, na mudança para esféricas a integranda
vira
e o volume adiciona
, ficando o integrando total
.
Passo 3
Resolvendo o caso (i): esfera de centro na origem e raio
.
Descrição da região em esféricas: dentro da esfera de raio
significa simplesmente
, com
variando de
a
e
de
a
.
Montando a integral em esféricas:
Agora calculo passo a passo as integrais iteradas.
Passo 4
Cálculo do caso (i) (continuação; integrais elementares):
Primeiro integrar em
:
Depois integrar em
:
E em
:
Multiplicando os resultados (ordem das integrais não altera o produto):
Portanto o valor da integral no caso (i) é
.
Passo 5
Resolvendo o caso (ii): região dada por
.
Primeiro é útil manipular a desigualdade para reconhecer a forma geométrica. Reescrevo completando o quadrado em
:
Isto mostra que
é a bola de centro
e raio
. Geometricamente é uma bola deslocada para cima que toca a origem (de fato o ponto
satisfaz a igualdade).
Agora passo para coordenadas esféricas. Como
e
, a desigualdade original vira
Para
isso é equivalente a
Observe que isso só faz sentido quando
, ou seja
. Portanto em coordenadas esféricas a região
é dada por
Passo 6
Montagem e cálculo da integral no caso (ii).
Em esféricas o integrando e o elemento de volume dão novamente
, então
Faço a integral em
primeiro:
Logo a integral reduz a
Agora uso a substituição simples
, então
. Quando
varia de
a
,
varia de
a
. Assim
Multiplicando pelo fator
obtemos o resultado final do caso (ii):
Passo 7
Pequeno comentário final e incentivo: os passos essenciais foram reconhecer que a integranda depende só da distância ao origem e que as regiões são esferas (no caso ii) talvez deslocada), por isso coordenadas esféricas tornam tudo direto — a integranda vira
e o Jacobiano traz
, simplificando para
. Se ficou alguma conta cansativa, respira, relê com calma cada substituição e a ordem das integrais; você já sabe aplicar em provas agora!
Resposta
i)
ii)