(i) () |a+b|=|a|+|b|, forall a, b in R;

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a afirmação “( ) |a+b|=|a|+|b|, para todo a,b em ℝ” é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolvido é valor absoluto e a conhecida desigualdade triangular, e vamos precisar saber quando ocorre igualdade nessa desigualdade.

Passo 2

A desigualdade triangular diz que, para quaisquer reais a e b, temos
|a+b|<=|a|+|b|
Além disso, a igualdade |a+b|=|a|+|b| ocorre se, e somente se, a e b têm o mesmo sinal, ou seja, quando ab>=0.

Passo 3

Para ver que a afirmação não vale para todos os a e b, basta encontrar um contraexemplo. Tome, por exemplo, a=1 e b=-1. Então temos
|1+(-1)|=|0|=0
e
|1|+|-1|=1+1=2
Logo, 0neq2, mostrando que nem sempre ocorre igualdade.

Passo 4

Concluímos, portanto, que a afirmação “para todo a,binR, |a+b|=|a|+|b|” é falsa, pois só vale quando ab>=0. No espaço em branco devemos então colocar F.

Resposta

F

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