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Passo 1
O enunciado pede para determinar se a afirmação “( ) |a+b|=|a|+|b|, para todo a,b em ℝ” é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolvido é valor absoluto e a conhecida desigualdade triangular, e vamos precisar saber quando ocorre igualdade nessa desigualdade.
Passo 2
A desigualdade triangular diz que, para quaisquer reais a e b, temos
Além disso, a igualdade
ocorre se, e somente se, a e b têm o mesmo sinal, ou seja, quando
.
Passo 3
Para ver que a afirmação não vale para todos os a e b, basta encontrar um contraexemplo. Tome, por exemplo,
e
. Então temos
e
Logo,
, mostrando que nem sempre ocorre igualdade.
Passo 4
Concluímos, portanto, que a afirmação “para todo
,
” é falsa, pois só vale quando
. No espaço em branco devemos então colocar F.
Resposta
F