Em cada um dos Problemas de 13 a 18 determine uma forma adequada para Y(t) se for utilizado o método dos coeficientes indeterminados. Não calcule as constantes.
y^(4)-2 y^prime prime+y=e^t+sen t

Passo 1

Temos a EDO y^(4)-2y''+y=e^t+sin t. O conteúdo é o método dos coeficientes indeterminados: vamos precisar da equação característica para verificar se algum termo do lado direito coincide com a solução homogênea.

Passo 2

A equação característica é
r^4-2r^2+1=(r^2-1)^2=0
Logo as raízes são r=1 e r=-1, cada uma com multiplicidade 2. Assim a solução homogênea é
yh=(C1+C2t)e^t+(C3+C4t)e^-t

Passo 3

Para o termo e^t no lado direito, como r=1 é raiz de multiplicidade 2, devemos multiplicar o palpite usual Ae^t por t^2. A forma desse parte particular será
Y1(t)=A t^2e^t

Passo 4

Para o termo sin t, as raízes associadas seriam r=pm i, que não aparecem na homogênea. Então o palpite padrão é uma combinação de seno e cosseno de grau zero em t:
Y2(t)=Bcos t + Csin t

Passo 5

Juntando ambas as partes, a forma apropriada para Y(t) pelo método dos coeficientes indeterminados é
Y(t)=A t^2e^t + Bcos t + Csin t

Resposta

Y(t)=A t2et + B\cos t + C\sin t

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