Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas e calcule o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo indicado.
y=1 / x, x=0, y=1, y=3; em torno do eixo y.

Passo 1

Temos a região R limitada pelas curvas y=1x, x=0, y=1 e y=3, e queremos o volume gerado quando R gira em torno do eixo y. O conteúdo é cálculo de volume de sólidos de revolução e vamos usar o método dos discos (ou anéis).

Passo 2

Primeiro, esboce a região no plano xy: trace a hipérbole y=1x, a reta vertical x=0 (eixo y) e as retas horizontais y=1 e y=3. A região está no primeiro quadrante, entre y=1 e y=3, e para cada y a abscissa varia de x=0 até x=1y.

Passo 3

Como giramos em torno do eixo y, em cada altura y a região gera um disco de raio R(y)=1y, pois é a distância do eixo y (linha x=0) até a curva x=1y. Não há furo interno, então o raio interno é zero.

Passo 4

O volume de um disco de espessura dy é dV=pil(R(y)^2-0^2r),dy=pi1y^2,dy. Logo o volume total é
V=integraly=1^3pi1y^2,dy

Passo 5

Para calcular a integral usamos integral y^-2dy=-1y. Assim
V=pil[-1yr]1^3=pil(-13+1r)=2pi3

Resposta

2pi3

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