Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações dadas e calcule o volume do sólido gerado pela rotação de
em torno do eixo indicado.
; em torno do eixo
.
Passo 1
Temos a região R limitada pelas curvas
,
,
e
, e queremos o volume gerado quando R gira em torno do eixo
. O conteúdo é cálculo de volume de sólidos de revolução e vamos usar o método dos discos (ou anéis).
Passo 2
Primeiro, esboce a região no plano xy: trace a hipérbole
, a reta vertical
(eixo y) e as retas horizontais
e
. A região está no primeiro quadrante, entre
e
, e para cada
a abscissa varia de
até
.
Passo 3
Como giramos em torno do eixo y, em cada altura
a região gera um disco de raio
, pois é a distância do eixo
(linha
) até a curva
. Não há furo interno, então o raio interno é zero.
Passo 4
O volume de um disco de espessura
é
. Logo o volume total é
Passo 5
Para calcular a integral usamos
. Assim