Em cada um dos Problemas de 13 a 18, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime+4 y=3 sen 2 t y(0)=2, y^prime(0)=-1

Passo 1

O problema é um PVI de segunda ordem dado por:
y'' + 4y = 3sin(2t), y(0)=2, y'(0)=-1
Isso é um EDO linear com coeficientes constantes. Como o termo forçante 3sin(2t) coincide com a solução da homogênea, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados considerando ressonância.

Passo 2

A parte homogênea associada é
yh'' + 4yh = 0
A equação característica é r^2+4=0, cujas raízes são r=pm2i. Portanto, a solução homogênea é
yh = C1cos(2t) + C2sin(2t)

Passo 3

Para a solução particular, adotamos o ansatz de ressonância:
yp = tl(Acos(2t) + Bsin(2t)r)
Calculando yp'' e somando 4yp, chega-se a
yp'' + 4yp = 4Bcos(2t) - 4Asin(2t)
Igualando a 3sin(2t) obtemos
4B = 0, -4A = 3
de onde B=0 e A=-tfrac34. Logo,
yp = -tfrac34,tcos(2t)

Passo 4

A solução geral do PVI é
y(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t) - tfrac34,tcos(2t)
Aplicando y(0)=2 vem C1=2. Derivando e usando y'(0)=-1 obtemos
y'(0) = 2C2 - tfrac34 = -1 implies C2 = -tfrac18

Resposta

y(t) = 2cos(2t) - tfrac18sin(2t) - tfrac34,tcos(2t)

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