Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos z=sin(x)·cos(y) com x=πt e y=√t. O conteúdo aqui é a regra da cadeia para funções de duas variáveis dependentes de t. Vamos precisar dos parciais ∂z/∂x, ∂z/∂y e das derivadas de x e y em relação a t.
Passo 2
Para calcular ∂z/∂x e ∂z/∂y, lembramos que quando z=f(x,y)=sin(x)·cos(y):
∂z/∂x é a derivada de sin(x)·cos(y) em relação a x, tratando y como constante.
∂z/∂y é a derivada de sin(x)·cos(y) em relação a y, tratando x como constante.
Derivando cada parte:
∂z/∂x = cos(x)·cos(y) (porque d/dx[sin(x)]=cos(x))
∂z/∂y = sin(x)·(−sin(y)) = −sin(x)·sin(y) (porque d/dy[cos(y)]=−sin(y))
Passo 3
Agora derivamos x(t) e y(t):
x(t)=πt ⇒ dx/dt = π
y(t)=t^{1/2} ⇒ dy/dt = (1/2)t^{−1/2} = 1/(2√t)
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia para z(x(t),y(t)):
Substituindo os valores que encontramos: ∂z/∂x=cos(x)cos(y), dx/dt=π, ∂z/∂y=−sin(x)sin(y) e dy/dt=1/(2√t).
Finalmente, voltando x=πt e y=√t, obtemos: