Comportamento de Soluções quando
t \rightarrow \infty
. Nos Problemas 31 e 32 continuamos a discussão iniciada nos Problemas de 38 a 40 da Seção 3.4. Considere a equação diferencial
a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=g(t) .
onde
a, b
e
c
são constantes positivas.
31. Se (Y_{1}(t)) e (Y_{2}(t)) são soluções da Eq. (i), mostre que (Y_{1}(t)-Y_{2}(t) \rightarrow 0) quando (t \rightarrow \infty). Este resultado é verdadeiro se (b=0) ?

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial não-homogênea
a\,y''+b\,y'+c\,y=g(t),
com a,b,c constantes positivas, e pede duas coisas:
  1. Mostrar que, se Y_{1}(t) e Y_{2}(t) são soluções dessa equação, então
Y_{1}(t)-Y_{2}(t)\to 0\quad\text{quando }t\to\infty.
  1. Verificar se o resultado continua verdadeiro quando b=0.
Informações relevantes fornecidas: a>0,\; b>0,\; c>0 (no enunciado original do item 31); as funções Y_{1} e Y_{2} são soluções da mesma equação dada acima.

Passo 2

Reduzimos o problema à diferença das soluções. Defina
z(t):=Y_{1}(t)-Y_{2}(t).
Como Y_{1} e Y_{2} satisfazem a mesma equação não-homogênea, subtraindo as duas equações obtemos que z satisfaz a equação homogênea associada:
a\,z''+b\,z'+c\,z=0.
Explico por que isso acontece: se aY_1''+bY_1'+cY_1=g e aY_2''+bY_2'+cY_2=g, então subtraindo as duas igualdades o lado direito cancela e sobra a equação homogênea para z.

Passo 3

Passamos ao método padrão para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes: procuramos soluções da forma exponencial z(t)=e^{r t}. Substituindo em
a\,z''+b\,z'+c\,z=0
obtemos a equação característica (dividindo por a para ficar mais simples)
r^{2}+\frac{b}{a}r+\frac{c}{a}=0.
As raízes r_{1},r_{2} dessa equação determinam a forma geral das soluções. Vou analisar as propriedades dessas raízes usando apenas a>0,\;b>0,\;c>0.

Passo 4

Use propriedades básicas das raízes de um polinômio quadrático. Para
r^{2}+pr+q=0
temos soma das raízes r_{1}+r_{2}=-p e produto r_{1}r_{2}=q. No nosso caso p=\dfrac{b}{a} e q=\dfrac{c}{a}. Assim
r_{1}+r_{2}=-\frac{b}{a}<0, \qquad r_{1}r_{2}=\frac{c}{a}>0.
Dessas duas informações seguem implicações importantes:
  • O produto positivo implica que r_{1} e r_{2} têm o mesmo sinal real (ambos positivos ou ambos negativos) ou são complexos conjugados.
  • A soma negativa força que, se forem reais, ambos sejam negativos. Se forem complexos conjugados r=\alpha\pm i\beta, então 2\alpha=r_{1}+r_{2}=-\dfrac{b}{a}<0, logo \alpha<0. Em qualquer caso concluímos que todas as partes reais das raízes são negativas:
\Re(r_{1})<0,\qquad \Re(r_{2})<0.

Passo 5

Escrevo a forma geral da solução z(t) nos três casos possíveis e mostro que em todos z(t)\to0 quando t\to\infty.
Caso A — raízes reais distintas r_{1}\neq r_{2}:
z(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}.
Como \Re(r_{1})<0 e \Re(r_{2})<0, cada termo exponencial tende a zero; portanto z(t)\to0.
Caso B — raiz dupla r_{1}=r_{2}=r (discriminante zero):
z(t)=(C_{1}+C_{2}t)e^{rt}.
Aqui r<0 (porque soma 2r=-\dfrac{b}{a}<0), logo e^{rt} decai exponencialmente. Mesmo multiplicado pelo fator polinomial C_{1}+C_{2}t, o produto tende a zero quando t\to\infty (exponencial decai mais rápido que qualquer potência).
Caso C — raízes complexas conjugadas r=\alpha\pm i\beta com \alpha<0:
z(t)=e^{\alpha t}\big(A\cos(\beta t)+B\sin(\beta t)\big),
com constantes reais A,B. Como \alpha<0, a fator e^{\alpha t}\to0 e os fatores trigonométricos ficam limitados, portanto z(t)\to0.
Em resumo, para a>0,\;b>0,\;c>0 todas as soluções da homogênea tendem a zero, logo a diferença z(t)=Y_{1}(t)-Y_{2}(t)\to0 quando t\to\infty.

Passo 6

Interpretação física/intuitiva rápida (ajuda na prova): o termo b\,y' representa amortecimento (dissipação). Com b>0 o sistema perde energia e qualquer solução homogênea decai para zero. Sem amortecimento a energia é conservada e não há decaimento.

Passo 7

Verificação do caso b=0. Se b=0 a equação homogênea fica
a\,z''+c\,z=0,
ou seja
z''+\frac{c}{a}z=0.
As soluções gerais são harmônicas:
z(t)=C\cos\!\big(\omega t\big)+D\sin\!\big(\omega t\big), \qquad \omega=\sqrt{\frac{c}{a}}.
Essas soluções são periódicas e, em geral, não tendem a zero (a menos que C=D=0). Portanto, quando b=0 a afirmação “todas as diferenças Y_{1}-Y_{2} tendem a zero” é falsa. Um exemplo concreto: escolha a=1,\;b=0,\;c=1. Então z(t)=\cos t é solução homogênea não nula e não tende a zero — logo existem duas soluções Y_1,Y_2 da não-homogênea cuja diferença é \cos t, e essa diferença não vai a zero.

Resposta

Sim: Y_{1}(t)-Y_{2}(t)\to 0 quando t\to\infty se a>0,\;b>0,\;c>0, porque a equação homogênea associada tem raízes com parte real negativa e todas as soluções homogêneas decaem exponencialmente.
Não: o resultado não é verdadeiro quando b=0; nesse caso as diferenças são combinações de senos e cossenos (oscilações) que, em geral, não tendem a zero.

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