Comportamento de Soluções quando
. Nos Problemas 31 e 32 continuamos a discussão iniciada nos Problemas de 38 a 40 da Seção 3.4. Considere a equação diferencial
onde
e
são constantes positivas.
31. Se (Y_{1}(t)) e (Y_{2}(t)) são soluções da Eq. (i), mostre que (Y_{1}(t)-Y_{2}(t) \rightarrow 0) quando (t \rightarrow \infty). Este resultado é verdadeiro se (b=0) ?
31. Se (Y_{1}(t)) e (Y_{2}(t)) são soluções da Eq. (i), mostre que (Y_{1}(t)-Y_{2}(t) \rightarrow 0) quando (t \rightarrow \infty). Este resultado é verdadeiro se (b=0) ?
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial não-homogênea
com
constantes positivas, e pede duas coisas:
- Mostrar que, se
e são soluções dessa equação, então
- Verificar se o resultado continua verdadeiro quando
.
Informações relevantes fornecidas:
(no enunciado original do item 31); as funções
e
são soluções da mesma equação dada acima.
Passo 2
Reduzimos o problema à diferença das soluções. Defina
Como
e
satisfazem a mesma equação não-homogênea, subtraindo as duas equações obtemos que
satisfaz a equação homogênea associada:
Explico por que isso acontece: se
e
, então subtraindo as duas igualdades o lado direito cancela e sobra a equação homogênea para
.
Passo 3
Passamos ao método padrão para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes: procuramos soluções da forma exponencial
. Substituindo em
obtemos a equação característica (dividindo por
para ficar mais simples)
As raízes
dessa equação determinam a forma geral das soluções. Vou analisar as propriedades dessas raízes usando apenas
.
Passo 4
Use propriedades básicas das raízes de um polinômio quadrático. Para
temos soma das raízes
e produto
. No nosso caso
e
. Assim
Dessas duas informações seguem implicações importantes:
- O produto positivo implica que
e têm o mesmo sinal real (ambos positivos ou ambos negativos) ou são complexos conjugados. - A soma negativa força que, se forem reais, ambos sejam negativos. Se forem complexos conjugados
, então , logo . Em qualquer caso concluímos que todas as partes reais das raízes são negativas:
Passo 5
Escrevo a forma geral da solução
nos três casos possíveis e mostro que em todos
quando
.
Caso A — raízes reais distintas
:
Como
e
, cada termo exponencial tende a zero; portanto
.
Caso B — raiz dupla
(discriminante zero):
Aqui
(porque soma
), logo
decai exponencialmente. Mesmo multiplicado pelo fator polinomial
, o produto tende a zero quando
(exponencial decai mais rápido que qualquer potência).
Caso C — raízes complexas conjugadas
com
:
com constantes reais
. Como
, a fator
e os fatores trigonométricos ficam limitados, portanto
.
Em resumo, para
todas as soluções da homogênea tendem a zero, logo a diferença
quando
.
Passo 6
Interpretação física/intuitiva rápida (ajuda na prova): o termo
representa amortecimento (dissipação). Com
o sistema perde energia e qualquer solução homogênea decai para zero. Sem amortecimento a energia é conservada e não há decaimento.
Passo 7
Verificação do caso
. Se
a equação homogênea fica
ou seja
As soluções gerais são harmônicas:
Essas soluções são periódicas e, em geral, não tendem a zero (a menos que
). Portanto, quando
a afirmação “todas as diferenças
tendem a zero” é falsa. Um exemplo concreto: escolha
. Então
é solução homogênea não nula e não tende a zero — logo existem duas soluções
da não-homogênea cuja diferença é
, e essa diferença não vai a zero.
Resposta
Sim:
quando
se
, porque a equação homogênea associada tem raízes com parte real negativa e todas as soluções homogêneas decaem exponencialmente.
Não: o resultado não é verdadeiro quando
; nesse caso as diferenças são combinações de senos e cossenos (oscilações) que, em geral, não tendem a zero.