Em cada um dos Problemas de 13 a 18, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
16. (y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=3 t e^{2 t}, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0)

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva o problema de valor inicial
y''-2y'-3y=3t e^{2t},\qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
Informações dadas e o que é pedido:
  • É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • A parte homogênea é \,y''-2y'-3y=0.
  • A parte não-homogênea (forçamento) é 3t e^{2t}.
  • Precisamos encontrar a solução y(t) que satisfaça as duas condições iniciais em t=0.

Passo 2

Como a equação é linear de coeficientes constantes, a solução geral tem a forma
y(t)=y_h(t)+y_p(t),
onde y_h é a solução geral da equação homogênea e y_p é uma solução particular da equação completa.
Vou usar o método dos coeficientes indeterminados para obter y_p, porque o termo forçante 3t e^{2t} é produto de um polinômio em t (grau 1) por uma exponencial e^{2t}. O procedimento é:
  • resolver a homogênea (achar y_h),
  • propor uma forma para y_p compatível com o forçante,
  • determinar os coeficientes substituindo na equação e igualando termos.

Passo 3

Resolver a equação homogênea
y''-2y'-3y=0.
Formamos o polinômio característico
r^2-2r-3=0.
Resolvendo:
r^2-2r-3=(r-3)(r+1)=0,
portanto as raízes são r=3 e r=-1. Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1 e^{3t}+C_2 e^{-t},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais depois.

Passo 4

Escolha da forma de y_p.
O forçante é 3t e^{2t}, que é e^{2t} multiplicado por um polinômio de grau 1. Verificamos se r=2 (a exponencial e^{2t}) é raiz do polinômio característico: as raízes são 3 e -1, logo 2 NÃO é raiz. Assim, não há ressonância e podemos tomar uma ansatz simples:
y_p(t)=e^{2t}(a t + b),
onde a e b são constantes desconhecidas que vamos determinar.

Passo 5

Calcular y_p' e y_p''. Aplicamos a regra do produto e a derivada de e^{2t}.
Começando por y_p(t)=e^{2t}(a t + b).
Derivando:
y_p'(t)=2e^{2t}(a t + b)+e^{2t}\cdot a = e^{2t}\bigl(2a t + 2b + a\bigr).
Derivando novamente:
y_p''(t)=2e^{2t}\bigl(2a t + 2b + a\bigr)+e^{2t}\cdot 2a = e^{2t}\bigl(4a t + 4b + 4a\bigr).

Passo 6

Substituir y_p, y_p' e y_p'' na equação diferencial para determinar a e b.
A equação é y''-2y'-3y=3t e^{2t}. Substituindo as expressões com fator comum e^{2t}:
y_p'':\\ e^{2t}(4a t + 4a + 4b),
-2y_p':\\\ -2e^{2t}(2a t + 2b + a) = e^{2t}(-4a t -4b -2a),
-3y_p:\\\ -3e^{2t}(a t + b) = e^{2t}(-3a t -3b).
Somando tudo:
y_p''-2y_p'-3y_p = e^{2t}\bigl(4a t + 4a + 4b -4a t -4b -2a -3a t -3b\bigr).
Agora simplificamos os termos dentro dos parênteses:
4a t -4a t -3a t = -3a t,
e os termos constantes:
4a -2a = 2a,\qquad 4b -4b -3b = -3b.
Logo
y_p''-2y_p'-3y_p = e^{2t}\bigl(-3a t + 2a -3b\bigr).
Devemos igualar isso ao lado direito 3t e^{2t}. Assim, comparando os coeficientes do polinômio em t (multiplicando e^{2t}):
Coeficiente de t:
-3a = 3 \quad\Rightarrow\quad a = -1.
Coeficiente constante:
2a - 3b = 0.
Substituindo a=-1:
2(-1) -3b = 0 \quad\Rightarrow\quad -2 -3b = 0 \quad\Rightarrow\quad b = -\frac{2}{3}.
Portanto
y_p(t)=e^{2t}\Bigl(-t -\frac{2}{3}\Bigr).

Passo 7

Escrever a solução geral da equação completa:
y(t)=y_h(t)+y_p(t)=C_1 e^{3t}+C_2 e^{-t}+e^{2t}\Bigl(-t -\frac{2}{3}\Bigr).
Agora vamos usar as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.

Passo 8

Calcular y(0) e y'(0) em termos de C_1 e C_2.
Primeiro y(0):
y(0)=C_1 + C_2 + e^{0}\Bigl(0 -\frac{2}{3}\Bigr) = C_1 + C_2 -\frac{2}{3}.
A condição é y(0)=1, então
C_1 + C_2 -\frac{2}{3}=1 \quad\Rightarrow\quad C_1 + C_2 = 1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}.
Agora y'(t). Já temos derivadas das partes: a derivada de C_1 e^{3t} é 3C_1 e^{3t}; de C_2 e^{-t} é -C_2 e^{-t}; e a derivada da parte particular já foi calculada na etapa anterior com a=-1, b=-2/3:
y_p'(t)=e^{2t}\bigl(2a t + 2b + a\bigr).
Substituindo a=-1 e b=-\tfrac{2}{3}:
y_p'(t)=e^{2t}\Bigl(-2t -\frac{7}{3}\Bigr).
Assim
y'(t)=3C_1 e^{3t}-C_2 e^{-t}+e^{2t}\Bigl(-2t -\frac{7}{3}\Bigr).
Em t=0:
y'(0)=3C_1 - C_2 +\Bigl(-\frac{7}{3}\Bigr).
A condição é y'(0)=0, então
3C_1 - C_2 -\frac{7}{3}=0 \quad\Rightarrow\quad 3C_1 - C_2 = \frac{7}{3}.

Passo 9

Resolver o sistema linear para C_1 e C_2:
\begin{cases} C_1 + C_2 = \dfrac{5}{3},\\[6pt] 3C_1 - C_2 = \dfrac{7}{3}. \end{cases}
Somando as duas equações:
4C_1 = \frac{5}{3}+\frac{7}{3}=\frac{12}{3}=4 \quad\Rightarrow\quad C_1=1.
Então
C_2=\frac{5}{3}-C_1=\frac{5}{3}-1=\frac{2}{3}.]

Passo 10

Substituir C_1 e C_2 na solução geral e escrever de forma organizada:
y(t)=e^{3t}+\frac{2}{3}e^{-t}+e^{2t}\Bigl(-t -\frac{2}{3}\Bigr).
Se quiser, podemos reescrever:
y(t)=e^{3t}-t e^{2t}+\frac{2}{3}\bigl(e^{-t}-e^{2t}\bigr).

Resposta

y(t)=e^{3t}+\frac{2}{3}e^{-t}+e^{2t}\Bigl(-t -\frac{2}{3}\Bigr).

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