Em cada um dos Problemas de 13 a 18, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
16. (y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=3 t e^{2 t}, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0)
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva o problema de valor inicial
É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com coeficientes constantes.
A parte homogênea é \,y''-2y'-3y=0.
A parte não-homogênea (forçamento) é 3t e^{2t}.
Precisamos encontrar a solução y(t) que satisfaça as duas condições iniciais em t=0.
Passo 2
Como a equação é linear de coeficientes constantes, a solução geral tem a forma
y(t)=y_h(t)+y_p(t),
onde y_h é a solução geral da equação homogênea e y_p é uma solução particular da equação completa.
Vou usar o método dos coeficientes indeterminados para obter y_p, porque o termo forçante 3t e^{2t} é produto de um polinômio em t (grau 1) por uma exponencial e^{2t}. O procedimento é:
resolver a homogênea (achar y_h),
propor uma forma para y_p compatível com o forçante,
determinar os coeficientes substituindo na equação e igualando termos.
Passo 3
Resolver a equação homogênea
y''-2y'-3y=0.
Formamos o polinômio característico
r^2-2r-3=0.
Resolvendo:
r^2-2r-3=(r-3)(r+1)=0,
portanto as raízes são r=3 e r=-1. Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1 e^{3t}+C_2 e^{-t},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais depois.
Passo 4
Escolha da forma de y_p.
O forçante é 3t e^{2t}, que é e^{2t} multiplicado por um polinômio de grau 1. Verificamos se r=2 (a exponencial e^{2t}) é raiz do polinômio característico: as raízes são 3 e -1, logo 2 NÃO é raiz. Assim, não há ressonância e podemos tomar uma ansatz simples:
y_p(t)=e^{2t}(a t + b),
onde a e b são constantes desconhecidas que vamos determinar.
Passo 5
Calcular y_p' e y_p''. Aplicamos a regra do produto e a derivada de e^{2t}.
Começando por y_p(t)=e^{2t}(a t + b).
Derivando:
y_p'(t)=2e^{2t}(a t + b)+e^{2t}\cdot a = e^{2t}\bigl(2a t + 2b + a\bigr).
Derivando novamente:
y_p''(t)=2e^{2t}\bigl(2a t + 2b + a\bigr)+e^{2t}\cdot 2a = e^{2t}\bigl(4a t + 4b + 4a\bigr).
Passo 6
Substituir y_p, y_p' e y_p'' na equação diferencial para determinar a e b.
A equação é y''-2y'-3y=3t e^{2t}. Substituindo as expressões com fator comum e^{2t}:
y_p'':\\ e^{2t}(4a t + 4a + 4b),
-2y_p':\\\ -2e^{2t}(2a t + 2b + a) = e^{2t}(-4a t -4b -2a),
-3y_p:\\\ -3e^{2t}(a t + b) = e^{2t}(-3a t -3b).
Somando tudo:
y_p''-2y_p'-3y_p = e^{2t}\bigl(4a t + 4a + 4b -4a t -4b -2a -3a t -3b\bigr).
Agora simplificamos os termos dentro dos parênteses:
4a t -4a t -3a t = -3a t,
e os termos constantes:
4a -2a = 2a,\qquad 4b -4b -3b = -3b.
Logo
y_p''-2y_p'-3y_p = e^{2t}\bigl(-3a t + 2a -3b\bigr).
Devemos igualar isso ao lado direito 3t e^{2t}. Assim, comparando os coeficientes do polinômio em t (multiplicando e^{2t}):
Agora y'(t). Já temos derivadas das partes: a derivada de C_1 e^{3t} é 3C_1 e^{3t}; de C_2 e^{-t} é -C_2 e^{-t}; e a derivada da parte particular já foi calculada na etapa anterior com a=-1, b=-2/3: