Em cada um dos Problemas 13 a 18, encontre a Transformada de Laplace da função dada
f(t)=(t-3) u2(t)+(t-2) u3(t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=(t-3),u2(t)+(t-2),u3(t)
onde ua(t) é a função de Heaviside deslocada em t=a.
O conteúdo usado será a propriedade de deslocamento no tempo:
Lg(t-a),u(t-a)(s)=e^-as,G(s),
em que G(s)=Lg(t)(s).

Passo 2

Reescrevemos cada termo de f(t) na forma g(t-a),u(t-a):
  1. Para (t-3),u2(t)= (t-3),u(t-2) fazemos t-3=[(t-2)-1]. Logo
    (t-3),u(t-2)=l[(t-2)-1r],u(t-2) =g1(t-2),u(t-2),
    com g1(tau)=tau-1.
  2. Para (t-2),u3(t)= (t-2),u(t-3) fazemos t-2=[(t-3)+1]. Logo
    (t-2),u(t-3)=l[(t-3)+1r],u(t-3) =g2(t-3),u(t-3),
    com g2(tau)=tau+1.

Passo 3

Calculamos as transformadas de g1 e g2:
  1. g1(tau)=tau-1. Tem-se
    Ltau(s)=1s^2, L1(s)=1s,
    então
    G1(s) =Ltau-1(s) =1s^2-1s
  2. g2(tau)=tau+1. Tem-se
    G2(s) =Ltau+1(s) =1s^2+1s

Passo 4

Aplicando o deslocamento no tempo:
  1. Para g1(t-2),u(t-2):
    Lg1(t-2),u(t-2)(s) =e^-2s,G1(s) =e^-2sl(1s^2-1sr)
  2. Para g2(t-3),u(t-3):
    Lg2(t-3),u(t-3)(s) =e^-3s,G2(s) =e^-3sl(1s^2+1sr)
Somando as duas partes obtemos F(s)=Lf(t)(s).

Resposta

F(s) =e^-2sl(1s^2-1sr) +e^-3sl(1s^2+1sr)

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