Calcule o trabalho da força
F(x, y, z)=(y e^z+z, x e^z-23, x y e^2+x)
realizado para mover um objeto ao longo da curva C obtida pela interseçāo da parte da superficie y=x^2-1 onde y <= 0 com o plano x+z=1 orientada no sentido do decrescimento de z.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
W = integralC Fcdot d r
da força
F(x,y,z)=l(y e^z+z,;x e^z-tfrac23,;x y e^z+xr)
ao longo da curva C definida por
y = x^2 - 1, x+z=1, y<=0,
orientada no sentido de decrescimento de z. O conteúdo é linha-integral de campo vetorial e vamos verificar se F é conservativo para usar potencial.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais para ver se nablatimes F=0. Escrevendo
P=y e^z+z, Q=x e^z-tfrac23, R=x y e^z+x,
temos
partial Ppartial y=e^z, partial Qpartial x=e^z,
partial Ppartial z=y e^z+1, partial Rpartial x=y e^z+1,
partial Qpartial z=x e^z, partial Rpartial y=x e^z
Como todas as componentes do rotacional se anulam, F é conservativo.

Passo 3

Procuramos uma função potencial phi(x,y,z) tal que
partialphipartial x=P, partialphipartial y=Q, partialphipartial z=R
Integramos partialphi/partial x=P:
phi(x,y,z)=integral (y e^z+z),dx = x y e^z + xz + h(y,z)
Comparando com partialphi/partial y=Q obtemos
partialpartial y(x y e^z + xz + h)=x e^z + hy overset!= x e^z-tfrac23 ;Longrightarrow;hy=-tfrac23
logo h(y,z)=-tfrac23,y+g(z). Por fim, de partialphi/partial z=R vem
partialpartial z(x y e^z + xz -tfrac23y+g(z)) = x y e^z + x + g'(z)overset!= x y e^z + x ;Longrightarrow;g'(z)=0
Então podemos tomar
boxedphi(x,y,z)=x y e^z + xz - tfrac23,y

Passo 4

Como C é a curva de interseção com y<=0 e x+z=1, parametrizamos por x=t,
y=t^2-1, z=1-t, -1<= t<=1
Para t=-1 temos z=2 (maior valor de z) e para t=1 temos z=0 (menor valor). Portanto o ponto inicial é
A = (-1,;0,;2),
e o final é
B = (1,;0,;0)

Passo 5

O trabalho é
W = phi(B) - phi(A)
Calculamos
phi(1,0,0)=1cdot0cdot e^0 + 1cdot0 - tfrac23cdot0 = 0,
phi(-1,0,2)=(-1)cdot0cdot e^2 + (-1)cdot2 - tfrac23cdot0 = -2
Logo
boxedW = 0 - (-2) = 2

Resposta

2

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