Determine e classifique os pontos críticos,máximo,mínimo ou sela,da função
f(x, y)=e^y-x(y^2-x^2)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y)=e^,y-xl(y^2-x^2r)
O conteúdo é cálculo de pontos críticos via gradiente e uso do Hessiano para classificação (mínimo, máximo ou sela). Vamos precisar calcular as derivadas parciais primeiras para achar os pontos onde o gradiente zera e depois as derivadas de segunda ordem para classificar.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Como e^y-x>0, extraímos o fator exponencial:
fx=partialpartial xl[e^y-x(y^2-x^2)r] =e^y-xl[-(y^2-x^2)-2xr] =e^y-xl(x^2-y^2-2xr),
fy=partialpartial yl[e^y-x(y^2-x^2)r] =e^y-xl[(y^2-x^2)+2yr] =e^y-xl(y^2-x^2+2yr)

Passo 3

Para pontos críticos, impomos
Somando as duas equações vem . Substituindo em obtemos , isto é . Assim o único ponto crítico é

Passo 4

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem para montar o Hessiano. Das expressões em passo 2 segue
fxx =e^y-xl[-(x^2-y^2-2x)+(2x-2)r] =e^y-xl(-x^2+y^2+4x-2r),
fyy =e^y-xl[(y^2-x^2+2y)+(2y+2)r] =e^y-xl(y^2-x^2+4y+2r),
fxy =partialpartial yl[e^y-x(x^2-y^2-2x)r] =e^y-xl[(x^2-y^2-2x)-2yr] =e^y-xl(x^2-y^2-2x-2yr)

Passo 5

Avaliamo as segundas derivadas em (0,0) (onde e^0-0=1):
fxx(0,0)=-2, fyy(0,0)=2, fxy(0,0)=0
O determinante do Hessiano é
D = fxx(0,0),fyy(0,0)-l[fxy(0,0)r]^2 =(-2)cdot2-0=-4<0
Como D<0, o ponto crítico (0,0) é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0), e ele é um ponto de sela.

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