Determine e classifique os pontos críticos,máximo,mínimo ou sela,da função
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
O conteúdo é cálculo de pontos críticos via gradiente e uso do Hessiano para classificação (mínimo, máximo ou sela). Vamos precisar calcular as derivadas parciais primeiras para achar os pontos onde o gradiente zera e depois as derivadas de segunda ordem para classificar.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Como
, extraímos o fator exponencial:
Passo 3
Para pontos críticos, impomos
Somando as duas equações vem . Substituindo em
obtemos
, isto é
. Assim o único ponto crítico é
Passo 4
Agora calculamos as derivadas de segunda ordem para montar o Hessiano. Das expressões em passo 2 segue
Passo 5
Avaliamo as segundas derivadas em
(onde
):
O determinante do Hessiano é
Como
, o ponto crítico
é um ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico é
, e ele é um ponto de sela.