Determine a solução geral das equações abaixo usando o método da variação dos parâmetros (repare
que o método dos coeficientes indeterminados também é aplicável nesses casos):
y^prime prime-3 y^prime+2 y=sen t;

Passo 1

O problema pede a solução geral da equação diferencial
y'' - 3y' + 2y = sin t
usando variação de parâmetros. Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem não homogênea. Vamos primeiro resolver a parte homogênea e depois aplicar variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada
y'' - 3y' + 2y = 0
O polinômio característico é
r^2 - 3r + 2 = 0
cuja raízes são r=1 e r=2. Logo a solução homogênea é
yh = C1 e^t + C2 e^2t

Passo 3

Escolher duas soluções independentes y1=e^t e y2=e^2t e calcular o Wronskiano
W(t)= y1 & y2 y1' & y2' = e^t & e^2t e^t & 2e^2t = e^tcdot2e^2t-e^2tcdot e^t = e^3t

Passo 4

Pelas fórmulas de variação de parâmetros, definimos
u1' = -y2,f(t)W = -e^2tsin te^3t = -e^-tsin t,
u2' = y1,f(t)W = e^tsin te^3t = e^-2tsin t,
onde f(t)=sin t.

Passo 5

Calcular as integrais
u1 = integral u1',dt = -integral e^-tsin t,dt,
u2 = integral u2',dt = integral e^-2tsin t,dt
Usando a fórmula integral e^atsin(bt),dt = e^at(asin(bt)-bcos(bt))a^2+b^2, obtemos
u1 = -l(e^-t(-sin t-cos t)2r) = e^-t2(sin t+cos t),
u2 = e^-2t(-2sin t-cos t)5 = -e^-2t5(2sin t+cos t)

Passo 6

A solução particular é
yp = u1,y1 + u2,y2 = e^-t2(sin t+cos t),e^t -e^-2t5(2sin t+cos t),e^2t
Simplificando
yp = 12(sin t+cos t) -15(2sin t+cos t) = 110sin t + 310cos t

Passo 7

A solução geral da equação não homogênea é
y(t) = yh + yp = C1 e^t + C2 e^2t + 110sin t + 310cos t

Resposta

y(t) = C1 e^t + C2 e^2t + 110sin t + 310cos t

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