Determine a solução geral das equações abaixo usando o método da variação dos parâmetros (repare
que o método dos coeficientes indeterminados também é aplicável nesses casos): ;
Passo 1
O problema pede a solução geral da equação diferencial
usando variação de parâmetros. Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem não homogênea. Vamos primeiro resolver a parte homogênea e depois aplicar variação de parâmetros para obter uma solução particular.
Passo 2
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada
O polinômio característico é
cuja raízes são e . Logo a solução homogênea é
Passo 3
Escolher duas soluções independentes e e calcular o Wronskiano
Passo 4
Pelas fórmulas de variação de parâmetros, definimos
u1' = -y2,f(t)W = -e^2tsin te^3t = -e^-tsin t,
u2' = y1,f(t)W = e^tsin te^3t = e^-2tsin t,
onde f(t)=sin t.
Passo 5
Calcular as integrais
u1 = integral u1',dt = -integral e^-tsin t,dt,
u2 = integral u2',dt = integral e^-2tsin t,dt
Usando a fórmula integral e^atsin(bt),dt = e^at(asin(bt)-bcos(bt))a^2+b^2, obtemos