Em cada um dos Problemas 13 a 18:
a. Esboce o gráfico da função dada por três períodos.
a. Esboce o gráfico da função dada por três períodos.
Passo 1
Vamos resolver esse exercício que pede para esboçarmos o gráfico da função $ f(x) = -x $ no intervalo $ -L \leq x < L $ e que se repete a cada $ 2L $ unidades. Isso envolve conceitos de funções lineares e funções periódicas. Precisamos entender como a função se comporta nesse intervalo e como ela se repete para desenhar três períodos completos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função $ f(x) = -x $ no intervalo $ -L \leq x < L $. Essa é uma função linear com inclinação negativa, o que significa que conforme $ x $ aumenta, $ f(x) $ diminui.
Passo 3
Sabemos que a função é periódica com período $ 2L $, ou seja, após cada intervalo de $ 2L $, o gráfico da função se repete exatamente da mesma forma. Portanto, além do intervalo inicial $ -L \leq x < L $, teremos mais dois intervalos onde a função se comporta da mesma maneira.
Passo 4
Vamos esboçar o gráfico para três períodos completos:
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Primeiro Período ($ -L \leq x < L $):
- Quando $ x = -L $, $ f(x) = -(-L) = L $.
- Quando $ x = L $, $ f(x) = -L $.
- Assim, desenhamos uma linha reta que vai de
até $ (L, -L) $.
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Segundo Período ($ L \leq x < 3L $):
- A função se repete, então a próxima parte começa em $ x = L $ com $ f(x) = -L $ e vai até $ x = 3L $ com $ f(x) = L $.
- Desenhamos outra linha reta que vai de $ (L, -L) $ até $ (3L, L) $.
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Terceiro Período ($ 3L \leq x < 5L $):
- Novamente, a função repete o padrão.
- Desenhamos a linha reta de $ (3L, L) $ até $ (5L, -L) $.
Passo 5
Juntando os três períodos, teremos um gráfico que alterna linhas decrescentes e crescentes a cada intervalo de $ 2L $, formando uma espécie de “serra” ou onda triangular.
Resposta
O gráfico de $ f(x) = -x $ com três períodos consiste em três segmentos de linhas retas inclinadas negativamente, repetindo-se a cada $ 2L $. Cada período começa no ponto $ (-L, L) $, desce até $ (L, -L) $, sobe novamente até $ (3L, L) $ e desce até $ (5L, -L) $. Assim, o gráfico mostra uma sequência de linhas diagonais que se alternam para baixo e para cima, formando um padrão periódico de três ciclos completos.