Desenhe a superfície e identifique-a:
Passo 1
O exercício pede para desenhar e identificar a superfície dada por
16 x^{2} + 100 y^{2} - 25 z^{2} = 400, que é um caso de superfície quádricas (ou cônicas) e vamos usar a técnica de levar para a forma canônica e comparar sinais.
16 x^{2} + 100 y^{2} - 25 z^{2} = 400, que é um caso de superfície quádricas (ou cônicas) e vamos usar a técnica de levar para a forma canônica e comparar sinais.
Passo 2
Para passar à forma canônica, dividimos ambos os lados de
16 x^{2} + 100 y^{2} - 25 z^{2} = 400
por 400. Isso nos dá
16 x^{2} + 100 y^{2} - 25 z^{2} = 400
por 400. Isso nos dá
Passo 3
Passo 4
Agora simplificamos os coeficientes:
Passo 5
Passo 6
Na forma canônica acima vemos duas parcelas positivas (x²/25 e y²/4) e uma negativa (–z²/16). Pela classificação de superfícies quádricas, essa combinação indica um hiperbolóide de uma folha com eixo de simetria no eixo z.
Passo 7
Para esboçar a superfície, observe as seções:
• Plano z = 0: obtemos , uma elipse no plano xy.
• Plano y = 0: obtemos , uma hipérbole no plano xz.
• À medida que |z| aumenta, a elipse de seção transversal cresce, mostrando que é um único “corpo” contínuo.
• Plano z = 0: obtemos
• Plano y = 0: obtemos
• À medida que |z| aumenta, a elipse de seção transversal cresce, mostrando que é um único “corpo” contínuo.
Resposta
Trata-se de um hiperbolóide de uma folha, com eixo de simetria ao longo de z.