Desenhe a superfície e identifique-a:
16 x^2+100 y^2-25 z^2=400

Passo 1

O exercício pede para desenhar e identificar a superfície dada por
16 x^{2} + 100 y^{2} - 25 z^{2} = 400, que é um caso de superfície quádricas (ou cônicas) e vamos usar a técnica de levar para a forma canônica e comparar sinais.

Passo 2

Para passar à forma canônica, dividimos ambos os lados de
16 x^{2} + 100 y^{2} - 25 z^{2} = 400
por 400. Isso nos dá

Passo 3

16 x^2400 + 100 y^2400 - 25 z^2400 = 1

Passo 4

Agora simplificamos os coeficientes:

Passo 5

x^225 + y^24 - z^216 = 1

Passo 6

Na forma canônica acima vemos duas parcelas positivas (x²/25 e y²/4) e uma negativa (–z²/16). Pela classificação de superfícies quádricas, essa combinação indica um hiperbolóide de uma folha com eixo de simetria no eixo z.

Passo 7

Para esboçar a superfície, observe as seções:
• Plano z = 0: obtemos x^2/25 + y^2/4 = 1, uma elipse no plano xy.
• Plano y = 0: obtemos x^2/25 - z^2/16 = 1, uma hipérbole no plano xz.
• À medida que |z| aumenta, a elipse de seção transversal cresce, mostrando que é um único “corpo” contínuo.

Resposta

Trata-se de um hiperbolóide de uma folha, com eixo de simetria ao longo de z.

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