Em cada um dos Problemas 1 a 6 , suponha que a função dada é estendida periodicamente para fora do intervalo original. ^3
a. Encontre a série de Fourier da função estendida.
f(x)=-1, & pi <= x<0, 1, & 0 <= x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida de -π a π, que repete o padrão para fora desse intervalo. A tarefa é encontrar a série de Fourier dessa função. Para isso, vamos precisar entender sobre séries de Fourier, que decompõem funções periódicas em uma soma de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função que nos foi dada:
f(x) = -1, & -pi <= x < 0, 1, & 0 <= x < pi
Essa função é periódica e tem período 2π. Nosso objetivo é expressá-la como uma soma infinita de termos de senos e cossenos.

Passo 3

A série de Fourier geral para uma função periódica de período 2π é:
f(x) = a0 + sumn=1^infty [ an cos(nx) + bn sin(nx) ]
Onde:
  • $ a_0 $ é a média da função no intervalo.
  • $ a_n $ são os coeficientes dos cossenos.
  • $ b_n $ são os coeficientes dos senos.

Passo 4

Vamos calcular $ a_0 $ primeiro. A fórmula para $ a_0 $ é:
a0
Vamos integrar a função no intervalo dado.

Passo 5

Dividindo a integral nos dois intervalos da função:
a0 = 12pi ( integral-pi^0 (-1) , dx + integral0^pi 1 , dx )
Calculando cada parte:
integral-pi^0 (-1) , dx = -x |-pi^0 = -(0 - (-pi)) = -pi
integral0^pi 1 , dx = x |0^pi = pi - 0 = pi

Passo 6

Somando as integrais:
a0 = 12pi (-pi + pi) = 02pi = 0
Então, $ a_0 = 0 $.

Passo 7

Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $. A fórmula é:
an
Mas observe que nossa função $ f(x) $ é ímpar, já que $ f(-x) = -f(x) $. E o cosseno é uma função par. O produto de uma função ímpar e uma par é ímpar, e a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero. Portanto, todos os $ a_n $ serão zero.

Passo 8

Agora, vamos calcular os coeficientes $ b_n $. A fórmula é:
bn
Como $ f(x) $ é ímpar e o seno também é ímpar, o produto de duas funções ímpares é par. Portanto, a integral não será automaticamente zero e precisamos calcular.

Passo 9

Dividindo a integral nos dois intervalos:
bn = 1pi ( integral-pi^0 (-1) sin(nx) , dx + integral0^pi 1 cdot sin(nx) , dx )
Vamos resolver cada parte separadamente.

Passo 10

Primeiro, a integral de -1 vezes seno:
integral-pi^0 (-1) sin(nx) , dx = - integral-pi^0 sin(nx) , dx
Sabemos que:
integral sin(nx) , dx = -1n cos(nx) + C
Então:
- [ -1n cos(nx) ]-pi^0 = 1n [ cos(0) - cos(-npi) ] = 1n [ 1 - cos(npi) ]
Como $ \cos(-n\pi) = \cos(n\pi) $.

Passo 11

Agora, a integral de 1 vezes seno:
integral0^pi sin(nx) , dx = [ -1n cos(nx) ]0^pi = -1n [ cos(npi) - cos(0) ] = 1n [ 1 - cos(npi) ]

Passo 12

Somando as duas partes:
bn = 1pi ( 1n [ 1 - cos(npi) ] + 1n [ 1 - cos(npi) ] ) = 2npi [ 1 - cos(npi) ]
Sabemos que $ \cos(n\pi) = (-1)^n $, então:
cos(npi) = (-1)^n

Passo 13

Observando que $ 1 - (-1)^n $ é zero quando $ n $ é par e 2 quando $ n $ é ímpar. Portanto, apenas os termos ímpares contribuem.
Podemos reescrever $ b_n $ para $ n $ ímpar como:
1 - (-1)^n

Passo 14

Finalmente, juntando tudo, a série de Fourier da função é:
f(x) = sumk=1^infty 4(2k-1)pi sin( (2k-1)x )
Onde $ k $ é um número inteiro positivo, representando os termos ímpares da série.

Resposta

A série de Fourier da função estendida periodicamente é
f(x) = sumk=1^infty 4(2k-1)pi sin( (2k-1)x )

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