Em cada um dos Problemas 1 a 6 , suponha que a função dada é estendida periodicamente para fora do intervalo original.
a. Encontre a série de Fourier da função estendida.
a. Encontre a série de Fourier da função estendida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida de -π a π, que repete o padrão para fora desse intervalo. A tarefa é encontrar a série de Fourier dessa função. Para isso, vamos precisar entender sobre séries de Fourier, que decompõem funções periódicas em uma soma de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função que nos foi dada:
Essa função é periódica e tem período 2π. Nosso objetivo é expressá-la como uma soma infinita de termos de senos e cossenos.
Passo 3
A série de Fourier geral para uma função periódica de período 2π é:
Onde:
- $ a_0 $ é a média da função no intervalo.
- $ a_n $ são os coeficientes dos cossenos.
- $ b_n $ são os coeficientes dos senos.
Passo 4
Vamos calcular $ a_0 $ primeiro. A fórmula para $ a_0 $ é:
Vamos integrar a função no intervalo dado.
Passo 5
Dividindo a integral nos dois intervalos da função:
Calculando cada parte:
Passo 6
Somando as integrais:
Então, $ a_0 = 0 $.
Passo 7
Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $. A fórmula é:
Mas observe que nossa função $ f(x) $ é ímpar, já que $ f(-x) = -f(x) $. E o cosseno é uma função par. O produto de uma função ímpar e uma par é ímpar, e a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero. Portanto, todos os $ a_n $ serão zero.
Passo 8
Agora, vamos calcular os coeficientes $ b_n $. A fórmula é:
Como $ f(x) $ é ímpar e o seno também é ímpar, o produto de duas funções ímpares é par. Portanto, a integral não será automaticamente zero e precisamos calcular.
Passo 9
Dividindo a integral nos dois intervalos:
Vamos resolver cada parte separadamente.
Passo 10
Primeiro, a integral de -1 vezes seno:
Sabemos que:
Então:
Como $ \cos(-n\pi) = \cos(n\pi) $.
Passo 11
Agora, a integral de 1 vezes seno:
Passo 12
Somando as duas partes:
Sabemos que $ \cos(n\pi) = (-1)^n $, então:
Passo 13
Observando que $ 1 - (-1)^n $ é zero quando $ n $ é par e 2 quando $ n $ é ímpar. Portanto, apenas os termos ímpares contribuem.
Podemos reescrever $ b_n $ para $ n $ ímpar como:
Passo 14
Finalmente, juntando tudo, a série de Fourier da função é:
Onde $ k $ é um número inteiro positivo, representando os termos ímpares da série.
Resposta
A série de Fourier da função estendida periodicamente é