Em cada um dos Problemas de 13 a 20, expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma convolução.
y^prime prime+4 y^prime+4 y=g(t) ; y(0)=2, y^prime(0)=-3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de 2ª ordem com coeficientes constantes y'' + 4y' + 4y = g(t) e condições iniciais y(0)=2, y'(0)=-3, expressando a solução em forma de convolução.

Passo 2

Para obter o kernel de convolução, consideramos a resposta ao impulso (isto é, g(t)=de e condições iniciais nulas). Na transformada de Laplace fica:
Lh(s)=1s^2+4s+4=1(s+2)^2
e portanto
h(t)=L^-11(s+2)^2=t e^-2t

Passo 3

A parte homogênea da solução geral é
$$y_h(t)=C_1 e^{-2t} + C_2 t e^{-2t}.
yh(t)=C1 e^-2t + C2 t e^-2t çõãy_h(t)=2e^{-2t} + t e^{-2t}.$$

Passo 4

A solução completa é a soma da parte homogênea e da parte particular expressa como convolução com h(t):
y(t)=yh(t)+yp(t)=2e^-2t+t e^-2t+integral0^th(t-s),g(s),ds
Como h(t-s)=(t-s)e^-2(t-s), isso dá a forma convolucional pedida.

Resposta

y(t)=2e^-2t+t e^-2t+integral0^t(t - s)e^-2(t - s),g(s),ds

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