Calcule:
integral 3x^2+2 x-3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 3x^2+2x-3 , dx. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 + 2x - 3. Precisamos encontrar dois números que multiplicados dão -3 e somados dão 2. Esses números são 3 e -1. Então, a fatoração fica:
x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)

Passo 3

Agora, reescrevemos a integral com o denominador fatorado:
integral 3(x + 3)(x - 1) , dx
Para facilitar a integração, vamos decompor a fração em duas frações parciais. Ou seja, vamos encontrar constantes A e B tais que:
3(x + 3)(x - 1) = Ax + 3 + Bx - 1

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (x + 3)(x - 1) para eliminar os denominadores:
3 = A(x - 1) + B(x + 3)
Agora, vamos encontrar os valores de A e B. Podemos escolher valores de x que simplifiquem a equação.
  1. Para x = 1:
    3 = A(1 - 1) + B(1 + 3) Rightarrow 3 = 0 + 4B Rightarrow B = 34
  2. Para x = -3:
    3 = A(-3 - 1) + B(-3 + 3) Rightarrow 3 = -4A + 0 Rightarrow A = -34
Então, temos:
3(x + 3)(x - 1) = -34x + 3 + 34x - 1

Passo 5

Agora, substituímos de volta na integral:
integral ( -34x + 3 + 34x - 1 ) , dx = -34 integral 1x + 3 , dx + 34 integral 1x - 1 , dx
Sabemos que integral 1u , du = ln|u| + C, então:
-34 ln|x + 3| + 34 ln|x - 1| + C

Resposta

A integral integral 3x^2+2x-3 , dx é igual a:
-34 ln|x + 3| + 34 ln|x - 1| + C
Onde C é a constante de integração.

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