Calcule:
integral cos ^5 cdot sen(x) d x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de cos^5(x) cdot sen(x) , dx. Para isso, vamos usar a técnica de substituição, que é uma ferramenta importante no cálculo de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observando que temos sen(x) multiplicando cos^5(x), podemos escolher u = cos(x). Isso porque a derivada de cos(x) envolve sen(x), que já está presente na integral.

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de u em relação a x:
dudx = -sen(x) Rightarrow du = -sen(x) , dx Rightarrow -du = sen(x) , dx
Isso nos permite substituir sen(x) , dx por -du na integral.

Passo 4

Substituindo na integral original:
integral cos^5(x) cdot sen(x) , dx = integral u^5 cdot (-du) = -integral u^5 , du
Agora, a integral está em termos de u, o que facilita o cálculo.

Passo 5

Integrando u^5 em relação a u:
- integral u^5 , du = -u^66 + C
Aqui, C representa a constante de integração, que é necessária em integrais indefinidas.

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta por cos(x) para retornar à variável original:
-cos^6(x)6 + C

Resposta

A integral é igual a $ -\frac{\cos^{6}(x)}{6} + C $.

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