Calcule:
integral 3 x cdot e^x^2 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral integral 3 x cdot e^x^2 , dx. Isso faz parte do estudo de cálculo integral, mais especificamente, da técnica de substituição. Para resolver essa integral, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Observamos que o exponencial tem x^2 no expoente. Então, vamos definir:
u = x^2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx. Calculando a derivada:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx

Passo 4

Queremos expressar x , dx em termos de du. A partir da equação anterior:
x , dx = du2

Passo 5

Substituímos u e x , dx na integral original:
integral 3x cdot e^x^2 , dx = integral 3 cdot e^u cdot du2 = 32 integral e^u , du

Passo 6

Agora, integramos e^u em relação a u:
32 integral e^u , du = 32 e^u + C
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, substituímos u de volta para x^2:
32 e^u + C = 32 e^x^2 + C

Resposta

32 e^x^2 + C

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