Em cada um dos Problemas de 13 a 20, verifique que as funções dadas
e
satisfazem a equação homogênea associada; depois encontre uma solução particular da equação não homogênea dada. Nos Problemas 19 e
é uma função contínua arbitrária.
Passo 1
O exercício pede para verificar que as funções dadas satisfazem a equação homogênea associada
(1−x)y’’+x y’−y=0 e depois encontrar uma solução particular de
(1−x)y’’+x y’−y=g(x).
O conteúdo é EDO linear de 2ª ordem não homogênea e vamos usar o método de variação de parâmetros, sabendo que y₁=e^x e y₂=x são soluções da parte homogênea.
(1−x)y’’+x y’−y=0 e depois encontrar uma solução particular de
(1−x)y’’+x y’−y=g(x).
O conteúdo é EDO linear de 2ª ordem não homogênea e vamos usar o método de variação de parâmetros, sabendo que y₁=e^x e y₂=x são soluções da parte homogênea.
Passo 2
Primeiro calculamos derivadas e substituímos na homogênea para y₁(x)=e^x:
Derivadas:
Substituindo em (1−x)y’’+x y’−y:
Logo y₁ satisfaz a homogênea.
Passo 3
Agora para y₂(x)=x:
Derivadas:
Substituindo:
Logo y₂ também satisfaz a parte homogênea.
Passo 4
Para aplicar variação de parâmetros escrevemos a EDO na forma padrão y’’+P(x)y’+Q(x)y=R(x). Dividindo por (1−x):
O Wronskiano de y₁,y₂ é
Passo 5
Pela fórmula de variação de parâmetros temos
Passo 6
Integramos para obter ν₁ e ν₂ (ignorando constantes de integração, que entram na homogênea) e montamos y_p = ν₁ y₁ + ν₂ y₂:
$$
ν_1(x) = -\int \frac{x,g(x)}{(1−x)^2 e^x} ,dx,
$$
$$
ν_2(x) = \int \frac{g(x)}{(1−x)^2} ,dx,
$$
$$
y_p(x) = ν_1(x)e^x + ν_2(x)·x.
$$
Resposta
Uma solução particular é
y_p(x) = -e^x \int \frac{x,g(x)}{(1-x)^2 e^x},dx ;+
x \int \frac{g(x)}{(1-x)^2},dx.
y_p(x) = -e^x \int \frac{x,g(x)}{(1-x)^2 e^x},dx ;+
x \int \frac{g(x)}{(1-x)^2},dx.