Em cada um dos Problemas de 13 a 20, verifique que as funções dadas y1 e y2 satisfazem a equação homogênea associada; depois encontre uma solução particular da equação não homogênea dada. Nos Problemas 19 e 20, g é uma função contínua arbitrária.
(1-x) y^prime prime+x y^prime-y=g(x), 0

Passo 1

O exercício pede para verificar que as funções dadas satisfazem a equação homogênea associada
(1−x)y’’+x y’−y=0 e depois encontrar uma solução particular de
(1−x)y’’+x y’−y=g(x).
O conteúdo é EDO linear de 2ª ordem não homogênea e vamos usar o método de variação de parâmetros, sabendo que y₁=e^x e y₂=x são soluções da parte homogênea.

Passo 2

Primeiro calculamos derivadas e substituímos na homogênea para y₁(x)=e^x:
Derivadas:
y₁'=e^x,
y₁''=e^x
Substituindo em (1−x)y’’+x y’−y:
(1−x)e^x + x e^x − e^x = (1−x+x−1)e^x=0
Logo y₁ satisfaz a homogênea.

Passo 3

Agora para y₂(x)=x:
Derivadas:
y₂'=1,
y₂''=0
Substituindo:
(1−x)·0 + x·1 − x = x−x=0
Logo y₂ também satisfaz a parte homogênea.

Passo 4

Para aplicar variação de parâmetros escrevemos a EDO na forma padrão y’’+P(x)y’+Q(x)y=R(x). Dividindo por (1−x):
y'' + x1−xy' − 11−xy = g(x)1−x = R(x)
O Wronskiano de y₁,y₂ é
W(y₁,y₂)=e^x & x e^x & 1=e^x·1 − x·e^x=(1−x)e^x

Passo 5

Pela fórmula de variação de parâmetros temos
u1' = -y2 R(x)W = -x,g(x)1−x(1−x)e^x = -x,g(x)(1−x)^2 e^x,
u2' = y1 R(x)W = e^x,g(x)1−x(1−x)e^x = g(x)(1−x)^2

Passo 6

Integramos para obter ν₁ e ν₂ (ignorando constantes de integração, que entram na homogênea) e montamos y_p = ν₁ y₁ + ν₂ y₂:
$$
ν_1(x) = -\int \frac{x,g(x)}{(1−x)^2 e^x} ,dx,
$$
$$
ν_2(x) = \int \frac{g(x)}{(1−x)^2} ,dx,
$$
$$
y_p(x) = ν_1(x)e^x + ν_2(x)·x.
$$

Resposta

Uma solução particular é
y_p(x) = -e^x \int \frac{x,g(x)}{(1-x)^2 e^x},dx ;+
x \int \frac{g(x)}{(1-x)^2},dx.

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