(a) Use o resultado do Problema 22 para mostrar que a solução do problema de valor inicial
v^prime prime+v=sec ^3 t, v(0)=0, v^prime(0)=0
é
v(t)=12[tan t sec t+ln |sec t+tan t|]-12 t sec t
(b) Use o resultado da parte (a) e o método de redução de ordem para encontrar a solução geral da equação diferencial y^prime prime+y=sec ^3 t.

Passo 1

A questão (a) pede para resolver o IVP v''+v=sec^3t, v(0)=v'(0)=0, e a (b) pede a solução geral de y''+y=sec^3t. O conteúdo é EDO linear de 2ª ordem não-homogênea, e vamos precisar do resultado do Problema 22, que dá a primitiva
integralsec^3t,dt=tfrac12sec ttan t+tfrac12lnl|sec t+tan tr|+C

Passo 2

Para (a) usamos a forma da solução particular com condição nula no instante zero:
v(t)=integral0^tsinl(t-sr),sec^3s,ds

Passo 3

Expandimos sin(t-s)=sin tcos s-cos tsin s e escrevemos
v(t)=sin tintegral0^tcos s,sec^3s,ds;- cos tintegral0^tsin s,sec^3s,ds

Passo 4

Cada integral é avaliada usando identidade trigonométrica e o resultado do Problema 22:
integralcos ssec^3s,ds=integralsec^2s,ds=tan s, integralsin ssec^3s,ds=integraltan ssec^2s,ds=tfrac12sec^2s-tfrac12

Passo 5

Substituindo nos limites e limpando os termos homogêneos com as condições v(0)=v'(0)=0, chega-se a
v(t)=tfrac12l[tan tsec t+ln|sec t+tan t|r];- frac12,tsec t

Passo 6

Para (b), sabemos que a solução geral de
y''+y=sec^3t
é a soma da geral da homogênea yh=C1cos t+C2sin t com uma particular. Já temos uma particular em (a), portanto
y(t)=C1cos t+C2sin t+v(t),
onde v(t) é o da parte (a).

Resposta

(a) \displaystyle v(t)=\tfrac12\bigl[\tan t\sec t+\ln\bigl|\sec t+\tan t\bigr|\bigr]-\tfrac12,t\sec t
(b) \displaystyle y(t)=C_1\cos t+C_2\sin t+\tfrac12\bigl[\tan t\sec t+\ln\bigl|\sec t+\tan t\bigr|\bigr]-\tfrac12,t\sec t

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