Em cada um dos Problemas de 13 a 20, verifique que as funções dadas y1 e y2 satisfazem a equação homogênea associada; depois encontre uma solução particular da equação não homogênea dada. Nos Problemas 19 e 20, g é uma função contínua arbitrária.
(1-t) y^prime prime+t y^prime-y=2(t-1)^2 e^-t, 0

Passo 1

A equação é de segunda ordem não homogênea com coeficientes variáveis:
Temos
(1-t)y''+t y'-y=2(t-1)^2e^-t,
e as soluções da homogênea associada são dadas por y1(t)=e^t e y2(t)=t. O conteúdo principal aqui é usar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular yp.

Passo 2

Vamos primeiro verificar que y1 e y2 satisfazem a equação homogênea (1-t)y''+t y'-y=0.
Para y1=e^t:
y1'=e^t, y1''=e^t
Substituindo:
(1-t)e^t + t e^t - e^t = [(1-t)+t-1]e^t=0
Para y2=t:
y2'=1, y2''=0
Substituindo:
(1-t) imes0 + t imes1 - t =0
Logo, ambas satisfazem a homogênea.

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, primeiro colocamos a equação em forma normal dividindo por 1-t (presumindo tneq1):
y'' + ract1-ty' - rac11-ty = 2 rac(t-1)^21-te^-t
Como (t-1)^2=(1-t)^2, o lado direito fica
2 rac(1-t)^21-te^-t = 2(1-t)e^-t
Então o ODE em forma padrão é
y'' + p(t)y' + q(t)y = r(t),
com
$$
p(t)= rac{t}{1-t},
q(t)=- rac{1}{1-t},
r(t)=2(1-t)e^{-t}.
$$

Passo 4

Agora calculamos o Wronskiano de y1,y2:
As fórmulas de variação de parâmetros dão:
Substituindo:
W(t)=eginvmatrixe^t & t e^t & 1 =e^tigl(1-tr)
u1' = - racr(t),y2W(t), n u2' = racr(t),y1W(t)

Passo 5

Integramos agora:
u1(t) = oolfalse?0: integral -2t e^-2t,dt 
Por partes em integral t e^-2tdt: obtemos
u1(t) = e^-2tigl(t + frac12r) 
E
u2(t) = oolfalse?0: integral 2e^-t,dt = -2e^-t 

Passo 6

A solução particular é
yp = u1 y1 + u2 y2
Substituindo u1,u2,y1,y2:
$$
y_p = e^{-2t}igl(t+ frac12\bigr)e^t
  -2e^{-t}	imes t
  = e^{-t}igl(t+	frac12 -2t\bigr) = e^{-t}igl(	frac12 - t\bigr).
$$

Passo 7

Checamos que yp(t) = (tfrac12 - t)e^-t realmente satisfaz a forma não homogênea. Assim chegamos à nossa solução particular.

Resposta

y_p(t)=\bigl(\tfrac12 - t\bigr)e^{-t}

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