Em cada um dos Problemas de 13 a 20, verifique que as funções dadas
e
satisfazem a equação homogênea associada; depois encontre uma solução particular da equação não homogênea dada. Nos Problemas 19 e
é uma função contínua arbitrária.
Passo 1
A equação é de segunda ordem não homogênea com coeficientes variáveis:
Temos
Temos
e as soluções da homogênea associada são dadas por
e
. O conteúdo principal aqui é usar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular
.
Passo 2
Vamos primeiro verificar que
e
satisfazem a equação homogênea
.
Para
:
Substituindo:
Para
:
Substituindo:
Logo, ambas satisfazem a homogênea.
Passo 3
Para aplicar variação de parâmetros, primeiro colocamos a equação em forma normal dividindo por
(presumindo
):
Como
, o lado direito fica
Então o ODE em forma padrão é
com
$$
p(t)=rac{t}{1-t},
p(t)=rac{t}{1-t},
q(t)=-rac{1}{1-t},
r(t)=2(1-t)e^{-t}.
$$
Passo 4
Agora calculamos o Wronskiano de
:
As fórmulas de variação de parâmetros dão:
Substituindo:
Passo 5
Integramos agora:
Por partes em
: obtemos
E
Passo 6
A solução particular é
Substituindo
:
$$
y_p = e^{-2t}igl(t+ frac12\bigr)e^t
y_p = e^{-2t}igl(t+ frac12\bigr)e^t
-2e^{-t} imes t
= e^{-t}igl(t+ frac12 -2t\bigr) = e^{-t}igl( frac12 - t\bigr).
$$
Passo 7
Checamos que
realmente satisfaz a forma não homogênea. Assim chegamos à nossa solução particular.
Resposta
y_p(t)=\bigl(\tfrac12 - t\bigr)e^{-t}