Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica de cálculo para derivadas de funções compostas. No problema, temos que encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. As funções que temos são:
Vamos precisar entender como essas funções se relacionam e aplicar a Regra da Cadeia para encontrar a derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que fique mais fácil para derivar. Sabemos que
pode ser escrita como:
Isso ajuda porque é uma função composta: temos uma função externa
onde
, e funções internas
e
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia. A regra nos diz que para derivar uma função composta, multiplicamos a derivada da função externa pela derivada das funções internas. Matemáticamente, isso fica:
Onde:
Passo 4
Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, derivamos
em relação a
:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Sabemos que:
-
então -
então
Substituindo essas derivadas:
Passo 5
Agora, juntamos tudo usando a Regra da Cadeia:
Podemos simplificar:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: