Use a Regra da Cadeia para determinar d zd t ou d wd t. z=raizx^2+y^2, x=e^2 t, y=e^-2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica de cálculo para derivadas de funções compostas. No problema, temos que encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . As funções que temos são:
Vamos precisar entender como essas funções se relacionam e aplicar a Regra da Cadeia para encontrar a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função z = (x^2 + y^2)^12 de uma forma que fique mais fácil para derivar. Sabemos que pode ser escrita como:
Isso ajuda porque é uma função composta: temos uma função externa onde , e funções internas e .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia. A regra nos diz que para derivar uma função composta, multiplicamos a derivada da função externa pela derivada das funções internas. Matemáticamente, isso fica:
dzdt = dzdu cdot dudt
Onde:

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, derivamos dzdu = 12(x^2 + y^2)^-12 em relação a dudt = 2x cdot dxdt + 2y cdot dydt :
dudt = 2e^2t cdot 2e^2t + 2e^-2t cdot (-2e^-2t) = 4e^4t - 4e^-4t
Agora, vamos derivar em relação a :
Sabemos que:
  • então
  • então
Substituindo essas derivadas:

Passo 5

Agora, juntamos tudo usando a Regra da Cadeia:
dzdt = 12(x^2 + y^2)^-12 cdot (4e^4t - 4e^-4t)
Podemos simplificar:
dzdt = 4(e^4t - e^-4t)2raize^4t + e^-4t = 2(e^4t - e^-4t)raize^4t + e^-4t

Resposta

A derivada de dzdt = 2(e^4t - e^-4t)raize^4t + e^-4t em relação a é:

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