Em cada um dos Problemas 14a 20, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada. \left(\begin{array}{rrr}3 & 2 & 2 \\\\ 1 & 4 & 1 \\\\ -2 & -4 & -1\end{array}\right)
e pede: encontrar todos os autovalores e, para cada autovalor, todos os autovetores não nulos (ou seja, uma base do correspondente espaço próprio).\n
Informações relevantes dadas: os nove elementos de A estão todos acima listados; nada mais foi dado. A tarefa é achar todos os \lambda tais que existe vetores v\neq 0 com Av=\lambda v, e determinar esses vetores.]
Passo 2
O que é preciso fazer (explicação didática):
Um autovalor \lambda e um autovetor v\neq 0 satisfazem Av=\lambda v.
Reescrevemos isso como (A-\lambda I)v=0. Para existir v\neq0 solução, precisamos que \det(A-\lambda I)=0. Esse determinante em \lambda é o polinômio característico.
Portanto a primeira etapa é calcular o polinômio característico p(\lambda)=\det(A-\lambda I) e achar suas raízes. Depois, para cada raiz \lambda, resolveremos o sistema homogêneo (A-\lambda I)v=0 para obter os autovetores (o espaço nulo da matriz A-\lambda I).
Explicando variáveis: \lambda é um escalar (o autovalor), I é a matriz identidade 3\times3, e v=(x_1,x_2,x_3)^T é o autovetor desconhecido.
Como são três autovalores distintos em \mathbb{R}, cada um terá pelo menos um autovetor não nulo, e os autovetores associados a autovalores distintos serão linearmente independentes.
Passo 5
Agora encontramos os autovetores. Começamos com \lambda=1\). Formamos \(A-I\) e resolvemos \((A-I)v=0\):
\[A-I=\begin{pmatrix}2 & 2 & 2 \\[4pt] 1 & 3 & 1 \\[4pt] -2 & -4 & -2\end{pmatrix}.
R_3\leftarrow R_3+2R_1 dá R_3=(0,2,0).
Agora vemos que R_2 corresponde a -4x_2=0, logo x_2=0. Usando R_1 com x_2=0: x_1+x_3=0, então x_1=-x_3.
Escolhemos parâmetro t para x_3: x_3=t. Assim
v=t(-1,0,1).
Portanto uma base do espaço próprio para \lambda=1 é formada pelo vetor (-1,0,1).]
Da primeira equação vem 2x_2+2x_3=0\Rightarrow x_2=-x_3\].
Substituindo na segunda equação: \(x_1+(-x_3)+x_3= x_1=0.
Tomando parâmetro u para x_3, obtemos
v=u(0,-1,1).
Logo uma base do espaço próprio para \lambda=3 é (0,-1,1).]
Passo 8
Resumo conceitual rápido: para cada \lambda achamos o espaço nulo de A-\lambda I. Cada espaço nulo é gerado por um vetorzinho não nulo (porque os autovalores são distintos, a multiplicidade geométrica é 1 para cada um). Esses vetores formam um conjunto linearmente independente de três vetores (útil se quiser diagonalizar A).
Resposta
\lambda=1: autovetores proporcionais a (-1,0,1).\n \lambda=2: autovetores proporcionais a (-2,1,0).\n \lambda=3: autovetores proporcionais a (0,-1,1).