Em cada um dos Problemas 14a 20, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada.
\left(\begin{array}{rrr}\frac{11}{9} & -\frac{2}{9} & -\frac{8}{9} \\\\ -\frac{2}{9} & \frac{2}{9} & \frac{10}{9} \\\ \frac{8}{6} & \underline{10} & \underline{5}\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os autovalores e autovetores da matriz dada. A matriz que eu peguei do seu enunciado é a seguinte (copiei exatamente o que veio no texto/imagem):
A=\begin{pmatrix}\frac{11}{9} & -\frac{2}{9} & -\frac{8}{9}\\[4pt] -\frac{2}{9} & \frac{2}{9} & \frac{10}{9}\\[4pt] \frac{8}{6} & \underline{10} & \underline{5}\end{pmatrix}
Observações importantes sobre os dados que peguei da imagem / enunciado:
  • Eu li explicitamente a entrada da terceira linha como \frac{8}{6} (que é 4/3) na posição (3,1) e como 10 e 5 (sem fração) nas posições (3,2) e (3,3); essas duas últimas aparecem sublinhadas no enunciado que você me enviou, então não tenho certeza se ali faltavam denominadores (por exemplo \tfrac{10}{9}, \tfrac{5}{9}) ou se foram realmente escritas como 10 e 5.
  • Como essas entradas da terceira linha são ambíguas, a matriz A não está completamente bem determinada a partir do que você enviou. Se a terceira linha for, por exemplo, \left(-\tfrac{8}{9},\tfrac{10}{9},\tfrac{5}{9}\right) a matriz fica bastante diferente (além de poder ser simétrica). Portanto não há um único conjunto de autovalores/autovetores sem esclarecer essas entradas.]

Passo 2

Por que essa incerteza impede resolver o problema de forma única? Dou dois argumentos curtos e concretos (para ficar convincente e didático):
  • A soma dos autovalores de uma matriz é igual à soma dos elementos da diagonal (traço). Se eu interpretar a terceira diagonal como 5 (sem denominação), o traço é
\operatorname{tr}(A)=\frac{11}{9}+\frac{2}{9}+5=\frac{11+2+45}{9}=\frac{58}{9}\approx 6{,}444\ldotp
Se eu interpretar a terceira diagonal como \tfrac{5}{9}, o traço é
\operatorname{tr}(A)=\frac{11}{9}+\frac{2}{9}+\frac{5}{9}=\frac{18}{9}=2\ldotp
Esses dois traços são diferentes, logo os somatórios dos autovalores seriam diferentes: não é possível dar uma resposta única sem decidir qual interpretação está correta.
  • Valores fora da diagonal (como a entrada (3,1)) também afetam totalmente o polinômio característico e as componentes dos autovetores. Trocar \tfrac{8}{6} por -\tfrac{8}{9} (por exemplo) muda completamente o determinante de A-\lambda I.
Conclusão desta etapa: com a informação ambígua que eu recebi não existe uma resposta única. Tenho que trabalhar com uma matriz não ambígua para calcular autovalores e autovetores.

Passo 3

Mesmo que eu não possa dar a resposta numérica única sem clarificação, vou te ensinar passo-a-passo o método completo e prático que você deve aplicar assim que confirmar os valores corretos da terceira linha. Vou fazer isso usando a matriz geral A (com entradas conhecidas) e explicar cada passo em termos que você pode repetir na prova — sem pular etapas.
  1. Limpeza de denominadores (truque prático).
  • Se A tem frações com denominador comum (por exemplo 9), é útil multiplicar a matriz inteira por 9 para trabalhar com inteiros. Defina
B=9A.
Os autovalores \mu de B estão relacionados aos autovalores \lambda de A por \mu=9\lambda. Ou seja, depois de achar autovalores de B basta dividir por 9 para obter os autovalores de A.
  1. Polinômio característico e determinante.
  • Para uma matriz 3\times3, os autovalores são as raízes do polinômio característico
p(\mu)=\det(B-\mu I).
  • Para calcular \det(B-\mu I) você pode usar expansão por cofatores ou operações de linha/coluna para simplificar antes de expandir (subtrair linhas para criar zeros, por exemplo). Mostro a fórmula de expansão por cofatores para a primeira linha:
\det(B-\mu I)=(b_{11}-\mu)\det\begin{pmatrix}b_{22}-\mu & b_{23}\\[3pt] b_{32} & b_{33}-\mu\end{pmatrix} - b_{12}\det\begin{pmatrix}b_{21} & b_{23}\\[3pt] b_{31} & b_{33}-\mu\end{pmatrix} + b_{13}\det\begin{pmatrix}b_{21} & b_{22}-\mu\\[3pt] b_{31} & b_{32}\end{pmatrix}.
  • Ao expandir vai obter um polinômio cúbico em \mu:
p(\mu)= -\mu^3 + c_2\mu^2 + c_1\mu + c_0,
ou, multiplicando por -1,
\mu^3 - c_2\mu^2 - c_1\mu - c_0 = 0.
  • Use o teorema das raízes racionais (divisores do termo constante) para testar raízes inteiras/rápidas primeiro. Se não houver raízes racionais, pode ser preciso fatorar numericamente ou aplicar fórmulas para raízes de polinômio de grau 3.
  1. Obtenção dos autovalores de A.
  • Se \mu_1,\mu_2,\mu_3 são raízes de p(\mu)=0 (autovalores de B), então os autovalores de A são
\lambda_i=\frac{\mu_i}{9},\quad i=1,2,3.
  1. Cálculo dos autovetores.
  • Para cada autovalor \lambda de A (ou \mu=9\lambda de B) resolva o sistema linear homogêneo
(A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0},
ou equivalente (multiplicando por 9)
(B-\mu I)\mathbf{v}=\mathbf{0}.
  • Esse sistema tem soluções não-triviais (autovetores). Para resolver, faça eliminação gaussiana (redução escalonada) em (B-\mu I) para encontrar a relação entre as componentes de \mathbf{v}=(x,y,z)^T. Escolha uma variável livre (por exemplo z=1 se for compatível) para obter um autovetor explícito; depois normalize se quiser comprimento 1.
  • Exemplo de procedimento de resolução: suponha que, após escalonamento, você obtenha duas equações independentes
\alpha x + \beta y + \gamma z = 0,\qquad \delta y + \varepsilon z = 0.
Então de trás para frente:
y = -(\varepsilon^{-1})\delta z, e x = -(\alpha^{-1})(\beta y + \gamma z) — claro, isso é apenas um esquema; na prova você faz as contas com os coeficientes reais.
  1. Verificação.
  • Sempre verifique: compute A\mathbf{v} e confirme que A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v} (ou que a diferença tem norma numérica muito pequena, se fizer aprox.).]

Passo 4

Para fixar o método, vou fazer um pequeno exemplo totalmente resolvido (com números que cabem na mão) — assim você consegue seguir o mesmo tipo de passos na sua matriz assim que confirmar os números.
Exemplo: considere a matriz
C=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\[3pt]0 & 3 & 4\\[3pt]0 & 4 & 3\end{pmatrix}.
  • O bloco \begin{pmatrix}3 & 4\\\ 4 & 3\end{pmatrix} tem autovalores 7 e -1 (porque soma e diferença: traço 6, determinante -7 etc.). Logo os autovalores de C são \{2,7,-1\}.
  • Para \lambda=2, resolvemos (C-2I)\mathbf{v}=0:
\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\[3pt]0 & 1 & 4\\[3pt]0 & 4 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0
Das duas últimas equações: y+4z=0 e 4y+z=0. Isso dá y=-4z e substituindo 4(-4z)+z=-15z=0 então z=0 e y=0. A primeira componente x é livre — podemos escolher x=1. Assim um autovetor associado a \lambda=2 é (1,0,0)^T.
  • Para \lambda=7, resolva (C-7I)\mathbf{v}=0:
\begin{pmatrix}-5 & 0 & 0\\[3pt]0 & -4 & 4\\[3pt]0 & 4 & -4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0
Da segunda e terceira equação: -4y+4z=0 e 4y-4z=0 dão y=z. Como x aparece só multiplicado por -5 na primeira, para vetor não trivial precisamos x=0. Tomando y=1 obtemos autovetor (0,1,1)^T.
  • Para \lambda=-1, similarmente encontra-se autovetor (0,1,-1)^T.
    Esse exemplo mostra claramente o passo a passo de cálculo e verificação — é exatamente isso que você aplica na sua matriz.]

Passo 5

Resumo e o que falta para eu te dar a resposta final pedida:
  • Falta a confirmação dos valores da terceira linha da matriz que você enviou. Eu identifiquei ambiguidade em \frac{8}{6} e nos termos sublinhados \underline{10}, \underline{5}.
  • Assim que você confirmar se as entradas são (por exemplo) \left(\tfrac{4}{3},10,5\right) ou \left(-\tfrac{8}{9},\tfrac{10}{9},\tfrac{5}{9}\right) ou outra coisa, eu aplico imediatamente o procedimento acima passo-a-passo e te dou todos os autovalores e autovetores explicitados (com contas detalhadas, sem pular etapas), do jeitinho que você quer para estudar para a prova.

Resposta

Não é possível determinar unicamente os autovalores e autovetores porque os elementos da terceira linha da matriz estão ambíguos no enunciado (vi \tfrac{8}{6} e \underline{10},\underline{5} na terceira linha); confirme os números exatos da terceira linha e eu resolvo passo a passo.

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